Control 2 / Primavera 2012

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Control 2 / Primavera 2012, Geometria y Espacios Vectorial

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JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 6 2012, 07:38 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1. (6,0 ptos.) Sea $TEX: $\Pi$$ un plano y $TEX: $L \subseteq \Pi$$ una recta y sea $TEX: $P \ \epsilon \ \mathbb{R}^3$$ un punto cualquiera. Denotamos por $TEX: R$ a la proyeccion ortogonal de $TEX: P$ sobre el plano $TEX: $\Pi$$ y $TEX: Q$ a la proyección ortogonal de $TEX: P$ sobre la recta $TEX: L$ . Demuestre que si $TEX: $R \neq Q$$ , entonces la recta que pasa por los puntos $TEX: R$ y $TEX: Q$ es perpendicular a $TEX: L$ . P2. Sea $TEX: $n \ \epsilon \mathbb{N}, n \geq 1$$ y $TEX: W$ definido por $TEX: W = $\{ A \ \epsilon M_{nn}( \mathbb{R}) \text{ ; A es simetrica y } \sum_{i=1}^{n} a_{ii} =0 \}$$ (2 ptos.) Probar que $TEX: W$ es s.e.v de $TEX: $ M_{nn}( \mathbb{R})$$ . (4 ptos.) Considere $TEX: n=3$ y las siguientes matrices de $TEX: $ M_{33}( \mathbb{R})$$ : $TEX: $A= \begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0} \end{pmatrix}; \ B= \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0} \end{pmatrix}; \ C= \begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0} \end{pmatrix}$$ $TEX: $D= \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix}; \ E= \begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} $$ Pruebe que $TEX: $W= \langle \{ A,B,C,D,E \} \rangle $$ y que son l.i. P3. (2 ptos.)Considere el espacio vectorial $TEX: $M_{nn}( \mathbb{R} )$$ y $TEX: $a \ \epsilon \mathbb{R}$$ . Se define: $TEX: $W_a = \{ A \ \epsilon M_{nn}( \mathbb{R} ); \ Traza(A)=a \}$$ donde $TEX: $Traza(A) = \sum_{i=0}^{n} a_{ii}$$ (la suma de los elementos diagonales de A). Pruebe que $TEX: $W_a$$ es s.e.v. de $TEX: $M_{nn}( \mathbb{R} )$$ si y solo si $TEX: a$ = 0 (2 ptos.) Sea $TEX: $P_n$$ el espacio veictorial de los polinomios con coeficientes en $TEX: $\mathbb{R}$$ de grado menor o igual que n. Sean $TEX: $p,q \ \epsilon P_n$$ tales que $TEX: $\{ p,q \}$$ es l.i. Demuestre que $TEX: $\{ p,q,p \cdot q \}$$ es l.i. si y solo si $TEX: $grado(p) \geq 1 \ y \ grado(q) \geq 1$$ . (2 ptos.) Sean $TEX: U,W$ dos s.e.v de un e.v. $TEX: V$ tales que $TEX: dim(V) = 3$ y $TEX: dim(U)=dim(W)=2$ , con $TEX: $U \neq W$$ . Demuestre que $TEX: $dim(U \cap W)=1$$ . Mensaje modificado por JanKss el Oct 6 2012, 07:40 PM

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 6 2012, 08:05 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	No se ve nada de dificil el control, espero les haya ido bien

JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 8 2012, 07:01 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Dejare mi solucion porque me parecio divertido. $TEX: \noindent Sabemos que $R$ y $Q$ estan definidas por las siguientes formulas <br />$\displaystyle \\ R=P+ \frac{ \langle M - P , n \rangle}{ \left\\| n \right\\| ^2}n $ donde $M \epsilon \Pi$ cualquiera \\<br />$\displaystyle \\ Q=P+ \frac{ \langle N - P , n \rangle}{ \left\\| n \right\\| ^2}n$ donde $N \neq M ; y \ N \epsilon L$ <br />cualquiera \\<br />Sea $d$ el vector director de $L$. Solo falta demostrar que $\langle R-Q,d \rangle =0$ \\<br />$\langle R - Q , d \rangle$ \\ $\displaystyle \Leftrightarrow \left \langle \frac{ \langle M - P , n \rangle}{ \left\\| n \right\\| ^2}n - \frac{ \langle N - P , n \rangle}{ \left\\| n \right\\| ^2}n, d \right \rangle \\<br />\Leftrightarrow \frac{1}{ \left\\| n \right\\| ^2} \langle \langle M - P , n \rangle n - \langle N - P , n \rangle n, d \rangle \\<br />\Leftrightarrow \frac{1}{ \left\\| n \right\\| ^2} \langle n( \langle M - P , n \rangle - \langle N - P , n \rangle ), d \rangle \\ \Leftrightarrow \frac{1}{ \left\\| n \right\\| ^2} \langle n( \langle M-N , n \rangle ) , d \rangle$ \\ Dado que M - N son puntos pertenecientes al plano y $M - N \neq 0 \\ \Rightarrow \langle M-N , n \rangle = 0 \\ \Rightarrow \langle n( \langle M-N , n \rangle ) = \langle n(0) , d \rangle = 0 \\ \Rightarrow \langle R-Q, d\rangle = 0 \Rightarrow \text{que la recta R-Q es perpendicular a }L$$

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