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> Ayuda con estos problemas
Dertf
mensaje Sep 27 2012, 06:31 PM
Publicado: #1


Principiante Matemático
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Sean a, b y c los lados de un triángulo de perímetro 2, demuestre que: 1<= ab+bc+ca-abc<=1+1/27
Nota: (<= significa menor o igual)


En cada vértice de un cubo se colocan números positivos menores que 1, cuya suma es igual a 1. En cada arista se coloca el producto de sus vértices. Demostrar que la suma de los productos colocados en cada una de las aristas es menor que 1/4.


Por favor ayúdenme
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pprimo
mensaje Jul 14 2017, 03:43 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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CITA(Dertf @ Sep 27 2012, 06:31 PM) *
Sean a, b y c los lados de un triángulo de perímetro 2, demuestre que: 1<= ab+bc+ca-abc<=1+1/27
Nota: (<= significa menor o igual)
En cada vértice de un cubo se colocan números positivos menores que 1, cuya suma es igual a 1. En cada arista se coloca el producto de sus vértices. Demostrar que la suma de los productos colocados en cada una de las aristas es menor que 1/4.
Por favor ayúdenme


se que despues de 5 años no te servira, pero si quizas a una generacion futura.
p1.
Debemos probar que TEX: $$1\le ab+bc+ca-abc$$
hagamos el cambio de variable TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( x+y,y+z,z+x \right)$$ con TEX: $$x+y+z=1$$
Entonces TEX: $$1\le \left( x+y \right)\left( y+z \right)+\left( y+z \right)\left( z+x \right)+\left( z+x \right)\left( x+y \right)-\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)$$

TEX: $$1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left( xy+zx+yz \right)-\left( 2xyz+x^{2}y+z^{2}x+zx^{2}+y^{2}z+xy^{2}+yz^{2} \right)$$

TEX: $$1\le \left( x+y+z \right)^{2}+\left( xy+zx+yz \right)-\left( 2xyz+x^{2}y+z^{2}x+zx^{2}+y^{2}z+xy^{2}+yz^{2} \right)$$

TEX: $$0\le \left( xy+zx+yz \right)-\left( 2xyz+xy\left( x+y \right)+yz\left( y+z \right)+zx\left( z+x \right) \right)$$

TEX: $$0\le \left( xy+zx+yz \right)-\left( 2xyz+xy\left( 1-z \right)+yz\left( 1-x \right)+zx\left( 1-y \right) \right)$$

TEX: $$0\le xyz+\left( xy+zx+yz \right)-\left( xy+yz+zx \right)$$

TEX: $$0\le xyz$$ cuando es obvio

Parte 2, debemos probar que TEX: $$ab+bc+ca-abc\le 1+\frac{1}{27}$$ , hagamos el mismo cambio de variable TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( x+y,y+z,z+x \right)$$ tal que TEX: $$x+y+z=1$$

TEX: $$\left( x+y \right)\left( y+z \right)+\left( y+z \right)\left( z+x \right)+\left( z+x \right)\left( x+y \right)-\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)\le 1+\frac{1}{27}$$

TEX: $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left( xy+zx+yz \right)-\left( 2xyz+x^{2}y+z^{2}x+zx^{2}+y^{2}z+xy^{2}+yz^{2} \right)\le 1+\frac{1}{27}$$

TEX: $$0\le \frac{1}{27}+\left( 2xyz+x^{2}y+z^{2}x+zx^{2}+y^{2}z+xy^{2}+yz^{2} \right)-\left( xy+zx+yz \right)$$

TEX: $$0\le \frac{1}{27}+\left( 2xyz+xy\left( x+y \right)+yz\left( y+z \right)+zx\left( z+x \right) \right)-\left( xy+zx+yz \right)$$

TEX: $$0\le \frac{1}{27}+\left( 2xyz+xy\left( 1-z \right)+yz\left( 1-x \right)+zx\left( 1-y \right) \right)-\left( xy+zx+yz \right)$$

TEX: $$0\le \frac{1}{27}+\left( xy+yz+zx-xyz \right)-\left( xy+zx+yz \right)$$

TEX: $$0\le \frac{1}{27}-xyz$$ es cierto ya que TEX: $$\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}$$
TEX: $\blacksquare$

Mensaje modificado por pprimo el Jul 14 2017, 03:44 PM
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