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Un ejercicio integrador, Vale la pena resolverlo =)

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2007, 08:39 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $${\text{Probar que la constante gamma existe}}$$$ $TEX: $${\text{Es decir = }}$$$ $TEX: $$\gamma = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\left({\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k} - \log n} } \right)$$$ $TEX: $${\text{M\'a s conocida como Constante de Euler}}$$$ Mucha suerte con este desafío. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2007, 12:52 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	$TEX: en vez de $log$, no sera $ln$..?$

Makbo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2007, 01:00 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 743 Registrado: 23-November 05 Desde: Mi Humilde Hogar! Miembro Nº: 394 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	en algunos libros aun usan la notacion de log para ln -------------------- © Ingeniero Civil Metalurgico. $TEX: [<br />psi psi psi .oint {mathfrak{M}alpha dag .mathbb{C}ell } <br />]$ "...La Felicidad es una mariposa que, si la persigues, siempre está justo más alla de tu alcance; Sin embargo, si te sentaras en silencio, podria posarse sobre ti..."

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2007, 01:39 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	$TEX: Guau, ejercicio integrador. usare mucho, lo "integrador"<br /><br />Sea $f_{n}=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-ln(n)\right)$<br /><br />Luego<br /><br /> $f_{n+1}-f_{n}=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k}-ln(n+1)\right)-\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-ln(n)\right)$<br /><br />$=\dfrac{1}{n+1}-ln(n+1)+ln(n)$<br /><br />$=\dfrac{1}{n+1}+\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}dx$<br /><br />Luego , esto es mayor que $0$, ya que si se tieene la hiperbola $y=\dfrac{1}{x}$, y se integra de $n$ a $n+1$, se obtiene el area bajo la curva, pero si se observa claramente que el area del rectangulo de base el intervalo $[n, n+1]$ , y altura $n+1$, cuya area daria $\dfrac{1}{n+1}$, elñ area de ese rectangulo es mayor que la de bajo la curva, es una "rectangulo superior", en el concepto de riemann.<br /><br />Luego, la sucesion $f_{n}$ es escrictamente creciente.<br /><br />Ahora bien , si tenemos la misma hiperbola $y=\dfrac{1}{x}$, y se toman las sumas inferiores, obviamente de las sumas de riemann se sabe que las sumas inferiores son menor a la area bajo la curva, pues cada rectangulo inferior es menor al area bajo la curva que corresponde a ese rectangulo. <br /> Luego, como son $n$ intervalos, de altura $\dfrac{1}{k}$ cada rectangulo, se tiene que $\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=1+\displaystyle\sum _{k=2}^{n}\dfrac{1}{k}<1+\int_{1}^{n}\dfrac{1}{x}dx=1+ln(n)$<br /><br /><br />luego $\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-ln(n)<1$<br /><br />Luego, $f_{n}$ es escrictamente creciente y esta acotada por $1$, luego, deberia existir el limite<br /><br />saludos<br /><br />EDIT: condoro feo<br />$ Mensaje modificado por jorgeston el May 10 2007, 01:48 AM

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2007, 11:21 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Respuesta correcta =) Solución alternativa (Aportado por un amigo de Beauchef ^^) = $TEX: $${\text{Defina }}\gamma n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} - \ln n.$$$ $TEX: $${\text{Para k}}{\text{, j}} \in {\text{\{ 1}}{\text{,2}},...{\text{\} }}{\text{, j}} \geqslant {\text{2 sean e}}{\text{k}} : = \left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k E_k : = \left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^{k + 1}$$$ $TEX: $$2 = e_1 < ... < e_k < e_{k + 1} < ... < e < E_j < E_{j - 1} < ... < E_1 = 4$$$ $TEX: $$\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k < e < \left( {1 + \frac{1}{{j - 1}}} \right)^j {\text{donde k}} \in {\text{\{ 1}}{\text{,2}},...{\text{\} y j}} \in {\text{\{ 2}}{\text{,3}}...{\text{\} }}{\text{.}}$$$ $TEX: $${\text{Usando logaritmo}}{\text{, obtenemos = }}$$$ $TEX: $$\ln (k + 1) - \ln k < \frac{1}{k},1 \leqslant k \leqslant n$$$ $TEX: $$\frac{1}{j} < \ln j - \ln (j - 1),2 \leqslant j \leqslant n$$$ $TEX: $${\text{Sumando estas desigualdades = }}$$$ $TEX: $$\ln n < - \frac{1}{n} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{1}{j} < 1 + \ln n}$$$ $TEX: $${\text{Esto es }}\gamma {\text{n}} \in {\text{(0}}{\text{,1)}}{\text{.}}$$$ $TEX: $$Entonces = $$$ $TEX: $$\gamma _n - \gamma _{n + 1} = \frac{1}{{n + 1}}(\ln e - \ln E_n ) < 0$$$ $TEX: $$Finalmente{\text{ = }}$$$ $TEX: $${\text{La Constante Gamma existe}}{\text{.}}$$$ Saludos Mensaje modificado por neo shykerex el May 10 2007, 11:33 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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