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C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2012, 11:12 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	Resolver la EDO. $TEX: <br />$$\left(3x+\frac{6}{y}\right)dx+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{3y}{x}\right)dy=0$$<br /><br />$ Saludos. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 31 2013, 12:40 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución Para la ecuación diferencial ordinaria $TEX: $$\left ( 3x+\frac{6}{y} \right )dx+\left ( \frac{x^{2}}{y}+\frac{3y}{x} \right )dy=0$$$ Definamos las siguientes funciones: $TEX: $$\left\{\begin{matrix}<br /> M(x,y)& = & 3x+\displaystyle\frac{6}{y}\\ <br /> N(x,y)& = & \displaystyle\frac{x^{2}}{y}+\frac{3y}{x}<br />\end{matrix}\right. $$$ $TEX: $$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}<br /> \displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)& = & -\displaystyle\frac{6}{y^{2}}\\ <br /> \displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)& = & \displaystyle\frac{2x}{y}-\frac{3y}{x^{2}}<br />\end{matrix}\right. $$$ Entonces, notese que por simple inspección : $TEX: $$\frac{1}{N(x,y)}\left ( \frac{\partial M}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) \right )=f(x,y)$$$ ; y ; $TEX: $$\frac{-1}{M(x,y)}\left ( \frac{\partial M}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) \right )=h(x,y)$$$ Luego, ninguna de esas formas nos permite construir un factor integrante. Entonces, consideremos un factor integrante de la forma $TEX: $$\mu (x,y)=x^{m}y^{n}$$$ , el cual se puede construir solo si existen constantes $TEX: $$m,n$$$ tales que: $TEX: $$\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)=\frac{m}{x}N(x,y)-\frac{n}{y}M(x,y)$$$ Reemplazando en la ecuación: $TEX: $$-\frac{6}{y^{2}}-\left ( \frac{2x}{y}-\frac{3y}{x^{2}} \right )=\frac{m}{x}\left ( \frac{x^{2}}{y}+\frac{3y}{x} \right )-\frac{n}{y}\left ( \frac{3x}{y}+\frac{6}{y^{2}} \right )$$$ Trabajando la expresión : $TEX: $$-6\left ( \frac{1}{y^{2}} \right )-2\left ( \frac{x}{y} \right )+3\left (\frac{y}{x^{2}} \right )=-6n\left ( \frac{1}{y^{2}} \right )+(m-3n)\left ( \frac{x}{y} \right )+3m\left ( \frac{y}{x^{2}} \right ) $$$ De lo que se obtiene el sistema $TEX: $$\left\{\begin{matrix} m-3n& = & -2\\ -6n& = &-6 \\ 3m& = & 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m= &1 \\ n= &1 \end{matrix}\right.$$$ $TEX: $$\therefore \mu (x,y)=xy$$$ es nuestro factor integrante. Multiplicándolo a la E.D.O. Se obtiene: $TEX: $$\left ( 3x^{2}y+6x \right )dx+\left ( x^{3}+3y^{2} \right )dy=0$$$ Y análogamente a lo primero, se definen las funciones: $TEX: $$\left\{\begin{matrix} \widetilde{M}(x,y)& =& 3x^{2}y+6x\\ \widetilde{N}(x,y)& =& x^{3}+3y^{2}<br />\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}(x,y)& = &3x^{2} \\ \displaystyle\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}(x,y)& = &3x^{2} \end{matrix}\right.$$$ Como la E.D.O. Es claramente exacta, ya se puede hablar de la existencia de una función $TEX: $$u(x,y)\mid \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\widetilde{M}(x,y)\wedge \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\widetilde{N}(x,y)$$$ Vease que: $TEX: $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\widetilde{M}(x,y)$$$ $TEX: $$\Rightarrow u(x,y)=\int \widetilde{M}(x,y)dx+g(y)$$$ $TEX: $$\Rightarrow u(x,y)=\int \left ( 3x^{2}y+6x \right )dx+g(y)$$$ $TEX: $$\Rightarrow u(x,y)=x^{3}y+3x^{2}+g(y)$$$ (). Pero se sabe que $TEX: $$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\widetilde{N}(x,y)$$$ Reemplazando (). en la ecuación: $TEX: $$\Leftrightarrow \frac{\partial \left (x^{3}y+3x^{2}+g(y) \right )}{\partial y}=x^{3}+3y^{2}$$$ $TEX: $$\Rightarrow x^{3}+{g}'(y)=x^{3}+3y^{2} $$$ $TEX: $$\Leftrightarrow {g}'(y)=3y^{2}$$$ $TEX: $$\Rightarrow g(y)=y^{3}$$$ (). Ahora reemplazando (). en (). Se obtiene: $TEX: $$u(x,y)=x^{3}y+3x^{2}+y^{3}$$$ Con lo que la solución general de la E.D.O. Satisface la igualdad: $TEX: $$x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=c\textup{ ; }c\in \mathbb{R}$$$ Saludos... -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..."* Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

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