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Control 1 2012/2, continuidad y derivadas

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JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2012, 04:02 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Se debe construir una pirámide regular de base cuadrada de modo que la superficie total de sus 4 caras laterales sea S_T = 4S, donde S (constante) es la superficie de cada cara lateral. Se pide encontrar el máximo volumen de esta pirámide en funcion de S ( V_max = V(S)) para lo cual proceda como sigue (0,5 ptos.) Demuestre que el valor de la altura de una cara lateral, siendo esta un triangulo isósceles, es $TEX: h=$\frac{1}{2}\sqrt{4h^2+x^2}$$ , donde $TEX: x$ es la longitud del lado de la base y $TEX: h$ la altura de la piramide. (1,5 pts.) Deduzca una relacion entre $TEX: x, h$ y $TEX: S$ , y una expresión V(x) para el volumen de la pirámide ( $TEX: V=$\frac{1}{3}$BASE$\cdot $ALTURA$ ). (4,0 ptos.) Determine las dimensiones de $TEX: x$ y $TEX: h$ que producen el máximo volumen. Justifique que es máximo y calcule V_max . P2 a) Considere la familia de polinomios $TEX: $g_n(x) = x^n+x-1$$ . (1,0 ptos.) Probar que $TEX: $\forall n\ge 1$ $g_n(x)$$ tiene una raiz $TEX: $r_n$$ positiva. (1,0 ptos.) Demuestre que la sucesión de raices $TEX: $(r_n)_{n\ge 1}$$ tiene una subsucesión convergente . b) (4,0 ptos.) Sea $TEX: f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ una función dos veces derivable con $TEX: f(2)=0$ . Se define la funcion $TEX: F(x) = $(x-1)^2f(x)$$ . Aplicar el Teorema del Valor Medio adecuadamente para probar que $TEX: $\exists \xi \epsilon (1,2)$$ tal que $TEX: $F''(\xi)=0$$ . P3 a) Sean $TEX: f,g: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ funciones derivables que cumplen las propiedades siguientes: $TEX: (1) g(x)= xf(x) + 1; (2)$\forall x,y \epsilon \mathbb{R}$ g(x+y)=g(x)g(y); (3)f(0)=1$ (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: g'(x)=g(x), $\forall x \epsilon \mathbb{R}$$ . (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\forall n \ge 1$, $xf^{(n)}+nf^{(n-1)}$ = g(x)$ y calcule $TEX: $f^{(n)}(0)$$ . b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ una funcion diferenciable tal que $TEX: $f(x)>0$, $\forall x \epsilon \mathbb{R}$$ . Demuestre que $TEX: $\displaystyle \lim_{\delta \to 0}\left (\frac{f(x+x\delta)}{f(x)} \right )^{1/\delta}$$ existe, es positivo y calculelo.

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2012, 04:19 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	Como primera impresión no se ve taaaaaan difícil, P1 es super estandar, la P2 la parte del TVI también y la P3 al menos la parte a también no se ve tan complicada (la parte b la atacaría con la forma exponencial, se deduce altiro que queda un límite conocido en la exponencial y el límite completo existe) Mensaje modificado por Shine el Sep 8 2012, 04:19 PM

Joseeph Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 10:45 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 8-November 10 Miembro Nº: 79.908 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2) b) Notemos que $TEX: F(1)=F(2)=0$ . Aplicando el teorema de Rolle (caso particular del TVM) sobre [1,2] $TEX: $ => \exists \varphi \epsilon (1,2)$$ tq $TEX: $F'(\varphi)=0$$ . Notamos tambien que $TEX: $F'(1)=0$$ , como $TEX: $1<\varphi<2$$ aplicando nuevamente el teorema de Rolle sobre $TEX: $[1,\varphi]$$ prueba que existe un $TEX: $\xi \epsilon (1,\varphi )$$ tq $TEX: $ F''(\xi )=0$$ y como $TEX: $(1,\varphi )\subseteq (1,2) => \xi \epsilon (1,2)$$

ToothyXbb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 11:55 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 23-June 11 Miembro Nº: 90.915 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Joseeph @ Sep 9 2012, 10:45 AM) P2) b) Notemos que $TEX: F(1)=F(2)=0$ . Aplicando el teorema de Rolle (caso particular del TVM) sobre [1,2] $TEX: $ => \exists \varphi \epsilon (1,2)$$ tq $TEX: $F'(\varphi)=0$$ . Notamos tambien que $TEX: $F'(1)=0$$ , como $TEX: $1<\varphi<2$$ aplicando nuevamente el teorema de Rolle sobre $TEX: $[1,\varphi]$$ prueba que existe un $TEX: $\xi \epsilon (1,\varphi )$$ tq $TEX: $ F''(\xi )=0$$ y como $TEX: $(1,\varphi )\subseteq (1,2) => \xi \epsilon (1,2)$$ hice exactamente lo mismo, solo ocupe TVM para comprobar que la primera derivada era cero --------------------

Hugolo777 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 11:58 AM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 174 Registrado: 16-April 11 Desde: Rancagua Miembro Nº: 87.191 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Joseeph @ Sep 9 2012, 10:45 AM) P2) b) Notemos que $TEX: F(1)=F(2)=0$ . Aplicando el teorema de Rolle (caso particular del TVM) sobre [1,2] $TEX: $ => \exists \varphi \epsilon (1,2)$$ tq $TEX: $F'(\varphi)=0$$ . Notamos tambien que $TEX: $F'(1)=0$$ , como $TEX: $1<\varphi<2$$ aplicando nuevamente el teorema de Rolle sobre $TEX: $[1,\varphi]$$ prueba que existe un $TEX: $\xi \epsilon (1,\varphi )$$ tq $TEX: $ F''(\xi )=0$$ y como $TEX: $(1,\varphi )\subseteq (1,2) => \xi \epsilon (1,2)$$ Vamos ** parece que no ando tan mal XD --------------------

itaaalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2012, 12:52 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 113 Registrado: 17-May 08 Miembro Nº: 23.481 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2 a) (i) $TEX: \[\begin{array}{l}<br />{g_n}(0) = - 1\\<br />{g_n}(1) = 1<br />\end{array}\]$ Por TVI se concluye que existe una raíz en (0,1) (ii) Las raices están acotadas (en [0,1]) por lo cual existe una subsucesión convergente directamente por Bolzano-Weierstrass Propuesto: En la P2 a) ii, es posible demostrar que la sucesión de raíces es convergente. Alguien se anima a hacerlo? Mensaje modificado por itaaalo el Sep 12 2012, 03:44 AM

Bessel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 08:49 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 7 Registrado: 31-August 12 Miembro Nº: 110.605	CITA(itaaalo @ Sep 11 2012, 12:52 PM) P2 a) (i) $TEX: \[\begin{array}{l}<br />{g_n}(0) = - 1\\<br />{g_n}(1) = 1<br />\end{array}\]$ Por TVI se concluye que existe una raíz en (0,1) (ii) Las raices están acotadas (en [0,1]) por lo cual existe una subsucesión convergente directamente por Bolzano-Weierstrass Propuesto: En la P2 a) ii, es posible demostrar que la sucesión de raíces es convergente. Alguien se anima a hacerlo? induccion es la clave

mono_16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 09:14 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 30-April 11 Miembro Nº: 87.967 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Bessel @ Sep 12 2012, 08:49 PM) induccion es la clave jajajaja que fácil decirlo

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 10:46 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	Hoy vi un cursito de diferencial (como 35 pruebas), fácil habré visto como 25 rojos... Mensaje modificado por Shine el Sep 12 2012, 10:46 PM

Tiradera.Pal.Mon... Tiradera.Pal.Mono__16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 11:41 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 12-September 12 Miembro Nº: 111.010 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Pedro Gaete @ Sep 9 2012, 10:57 AM) mmm no se ve tan dificil la prueba, en mis tiempos cuando estuve en esta facultad,los controles eran mas dificiles, si me da un poco de tiempo les transcribo alguna de las respuestas y se las subo. saludos y suerte si, y en tu epoca tambien enseñaban a predecir terremotos??

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