Prueba de Selección Ibero 2012

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Olimpiadas > Olimpiada Iberoamericana

2 Páginas:

1 2 >

Prueba de Selección Ibero 2012, Chile

Opciones

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2012, 10:39 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Prueba de selección del equipo chileno para la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas 2012 Jueves 30 de agosto $TEX: <br />\noindent\textbf{Problema 1.} Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo y $l$ una recta que corta las tres rectas $BC, CA, AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Suponga que $l$ no pasa por ningún vértice del triángulo. Considere los círculos $\mathcal{C}, \mathcal{C}_B, \mathcal{C}_A, \mathcal{C}_C$ circunscritos respectivamente a $\triangle{ABC},\triangle{DBF},\triangle{AEF},\triangle{DCE}$. Demuestre que los cuatro círculos $\mathcal{C}, \mathcal{C}_B, \mathcal{C}_A, \mathcal{C}_C$ son concurrentes.\\<br /><br />\noindent\textbf{Problema 2.} Denotamos por $(x)$ al entero más cercano al número $x$. En el caso en que $x$ esté a la misma distancia de dos enteros, entonces $(x)$ representa al mayor de ellos. Sea $N$ un número natural. Demuestre que<br /><br />\begin{center}<br />$N=\displaystyle\left(\frac{N}{2}\right)+\left(\frac{N}{4}\right)+\left(\frac{N}{8}\right)+\ldots+\left(\frac{N}{2^n}\right)+\ldots$<br />\end{center}<br /><br />\noindent\textbf{Problema 3.} En una ciudad, en la que hay por lo menos tres cruces de calles, se verifica lo siguiente: para cualesquiera tres cruces de calles $A,B,C$, existe un camino desde el cruce $A$ hasta el cruce $B$ sin pasar por el cruce $C$. Demuestre que desde cualquier cruce de calles a cualquier otro, existen dos caminos que no se cortan.<br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2012, 11:29 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1 Hint No se complique demaciado, solo dibuje la circunferencia circunscrita al ABC y una de las otras, si aun así no le sale habrá el spoiler llame P a la intersección de la circunferencia circunscrita del ABC con la otra e intente demostrar que este punto con los puntos de cada uno de los otros dos triángulos a los que no se le dibujo la circunferencia son cíclicos Solución Sea $TEX: $$P$$$ la intersección de $TEX: $$C$$$ con $TEX: $$C_{A}$$$ , sea $TEX: $$\alpha$$$ (en verde) el angulo $TEX: $$\sphericalangle PBC$$$ , luego $TEX: $$\sphericalangle PBC=$$$ $TEX: $$\sphericalangle PAC=$$$ $TEX: $$\sphericalangle PAE=$$$ $TEX: $$\sphericalangle PFE$$$ , luego el cuadrilátero $TEX: $$PBFD$$$ es cíclico, de forma análoga el cuadrilatero $TEX: $$PDCE$$$ es ciclico, luego $TEX: $$C$$$ , $TEX: $$C_{A}$$$ , $TEX: $$C_{B}$$$ , $TEX: $$C_{C}$$$ pasan por $TEX: $$P$$$ Comentario: es fácil notar que si hubiésemos considerado el triangulo $TEX: $BFD$$ como el triangulo inicial, y a la recta $TEX: $AE$$ como a $TEX: $$l$$$ , se prueba lo pedido cuando el triangulo se ve intersectado por $TEX: $$l$$$ en las prolongaciones de todos sus lados Mensaje modificado por Heiricar el Aug 31 2012, 11:48 PM

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2012, 11:35 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Buuu el hernán me ganó u.u -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2012, 12:01 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A ver si la mano del tío euclides apaña. Problema 1 Sea $TEX: $X$$ tal que $TEX: $\mathcal{C}_A \cap \mathcal{C}_B = \left\{X\right\}$$ . Notar que demostrar la concurrencia, es equivalente a demostrar que los puntos $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ , $TEX: $C$$ , $TEX: $X$$ y $TEX: $C$$ , $TEX: $D$$ , $TEX: $E$$ , $TEX: $X$$ son concíclicos. Ya sabemos que los cuadriláteros $TEX: $EXAF$$ y $TEX: $DXBF$$ son cíclicos, por lo que: $TEX: $\angle{XBF} = \angle{XAE}=\angle{XBD}$$ . De esto, el cuadrilátero $TEX: $CABX$$ es cíclico $TEX: $\left(\star\right)$$ $TEX: $\angle{BFX}=\angle{BDX}=\angle{AEX}$$ . De esto, el cuadrilátero $TEX: $CDEX$$ es cíclico $TEX: $\left(\star\star\right)$$ Entonces, por $TEX: $\left(\star\right)$$ y $TEX: $\left(\star\star\right)$$ es directa la conciclicidad de los puntos y por ende obtenemos lo pedido $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Me voy, me jui.

Jaimeignacio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2012, 12:06 AM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 16-February 12 Desde: puente alto Miembro Nº: 101.243	me gustó la respuesta de hernán.

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2012, 04:33 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Fuente del P2: The USSR Olympiad Problem Book, Selected problems and theorems of elementary Mathematics - D.O.Shklarsky, N.N.Chentzov and I.M.Yaglom -------------------- Me voy, me jui.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2012, 10:11 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	El problema 1 es una versión raramente enunciada del teorema de Miquel. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2012, 11:51 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ Sep 2 2012, 04:33 AM) Fuente del P2: The USSR Olympiad Problem Book, Selected problems and theorems of elementary Mathematics - D.O.Shklarsky, N.N.Chentzov and I.M.Yaglom La Fuente del P2 es la siguiente: IMO 1968, Problema 6 -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

דוד חסון Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2012, 01:09 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 187 Registrado: 14-September 11 Miembro Nº: 94.369 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Seba² @ Sep 2 2012, 11:51 AM) La Fuente del P2 es la siguiente: IMO 1968, Problema 6 El problema que tú mencionas no es exactamente igual al que dice El Geek, que es realmente el mismo de la prueba. Es penca que repitan un problema de un libro bastante conocido, seguramente alguien entrenado ya lo habría visto.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2012, 02:15 PM Publicado: #10
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En lugar de criticar los problemas de la prueba, deberían resolverlos... por ejemplo el problema 3. Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

« Posterior · Olimpiada Iberoamericana · Anterior »

2 Páginas:

1 2 >

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 24th November 2024 - 01:45 AM