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[Maratón] Teoría de Números

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 11:34 PM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(snw @ Aug 21 2012, 12:11 AM) Sea $TEX: $P$$ un polinomio no constante con coeficientes enteros y positivos. Encontrar todos los naturales $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ tales que $TEX: $P(n)\mid P(P(n)+1)$$ No se si 0 es natural o no para ti.Yo me voy a hacer el tonto y voy a decir que 0 no es natural, pero si no es suficiente avisas. Notacion: a#b mod m significa "a es congruente con b modulo m". Sea S la suma de los coeficientes de P. Claramente P(1)=S (coeficientes positivos) y ademas P(n)>S cuando n>1. Observamos que P(P(n)+1)#P(0+1)#S mod P(n) pero 0<S<P(n) cuando n>1 asi que ningun n>1 cumple la propiedad buscada. Por otro lado S#0 mod P(1) porque P(1)=S asi que n=1 tiene la propiedad buscada. Solucion: solo n=1. Mensaje modificado por Pasten el Aug 20 2012, 11:35 PM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 11:37 PM Publicado: #62
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Aug 21 2012, 01:34 AM) No se si 0 es natural o no para ti.Yo me voy a hacer el tonto y voy a decir que 0 no es natural, pero si no es suficiente avisas. Notacion: a#b mod m significa "a es congruente con b modulo m". Sea S la suma de los coeficientes de P. Claramente P(1)=S (coeficientes positivos) y ademas P(n)>S cuando n>1. Observamos que P(P(n)+1)#P(0+1)#S mod P(n) pero 0<S<P(n) cuando n>1 asi que ningun n>1 cumple la propiedad buscada. Por otro lado S#0 mod P(1) porque P(1)=S asi que n=1 tiene la propiedad buscada. Solucion: solo n=1. correcto -------------------- blep

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 11:45 PM Publicado: #63
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Cual es el mayor entero positivo N tal que cada entero positivo m en el rango 1<m<N que es coprimo con N necesariamente es primo? Por ejemplo el N=3 tiene esta propiedad (porque los m coprimos con 3 en el rango 1<m<3 solo son m=2 el cual es primo), pero yo pido el mayor. Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 05:01 AM Publicado: #64
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Tanto el $3$ como el $4$ tienen la propiedad.<br /><br />Si $N>4$ y $N$ tiene la propiedad entonces $2 \| N$ pues en caso contrario $4$ sería coprimo con $N$. Si $N>9$ y $N$ tiene la propiedad entonces $(2 \cdot 3) \| N$ pues en caso contrario $9$ sería coprimo con $N$. Si $N>25$ y $N$ tiene la propiedad entonces $(2 \cdot 3 \cdot 5) \| N$ pues en caso contrario $25$ sería coprimo con $N$. Si $N>49$ y $N$ tiene la propiedad entonces $(2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7) \| N$ pues en caso contrario $49$ sería coprimo con $N$. Como $(2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7) \| N$ implica que $210 = (2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7) \leq N$, se sigue que no hay enteros $N$ en $(49,121]$ que cumplan la propiedad. Si $N>121$ y $N$ tiene la propiedad entonces $(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) \| N$ pues en caso contrario $121$ sería coprimo con $N$. La relación $(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) \| N$ implica en este caso que $2310 = (2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) \leq N$. De esto se desprende en particular que no hay enteros $N$ en $(121, 169]$ que cumplan la propiedad en cuestión. Designando entonces con $p_{k}$ al $k$-ésimo primo positivo se sigue de lo visto en los últimos dos casos que para descartar la existencia de enteros en $(p_{k}^{2}, p_{k+1}^{2}]$ con la propiedad (para $k\geq 4$), basta con demostrar que $p_{k+1}^{2} < p_{1}\cdots p_{k}$. La desigualdad es válida para $k=4$ y $k=5$. Si la suponemos válida para $k$, probémosle para $k+1$. Por el postulado de Bertrand, $p_{k+2} < 2p_{k+1}$. Así, $\medskip$ $p_{k+2}^{2} < 4p_{k+1}^{2}<(p_{1} \cdots p_{k})(4) < p_{1} \cdots p_{k+1}.$<br /><br />De todo lo anterior se desprende que el entero más grande que satisface la propiedad es el único múltiplo de $30$ en $(25,49]$.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 10:55 AM Publicado: #65
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Muy bien coquitao, correcto. Seria interesante una solucion sin el postulado de bertrand, pero creo que es bien conocido asi que no hay problema. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 01:07 PM Publicado: #66
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Pasten @ Aug 20 2012, 11:39 PM) Esto es un comentario sin relacion al tema: (...) En cierta tesis de teoria de numeros escrita en espagnol, una vez lei el termino "apareamiento de Neron y Tate" como traduccion de "Neron-Tate pairing". Era muy gracioso, porque lo mencionaban a cada rato. Una traduccion mucho mas adecuada seria "forma bilineal de Neron y Tate". Hay que saber usar el idioma (en nuestro caso, el español) razonablemente. El ejemplo de ~~sistemas dinámicos~~ ni siquiera merece mención. El que me pareció gracioso es el que estoy citando. Según el diccionario de la RAE, tanto "aparear" como "parear" se pueden entender como formar parejas, aunque el primero es más bien asociado a otra cosa (cuando una hembra y un macho se juntan para mantener la especie). Yo no he leído sobre el "Neron-Tate pairing", pero no lo traduciría como "apareamiento". Se espera propuesto (o solución alternativa) P.S.: Ahora soy un poquito más bacán, por citar a Pasten. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 01:56 PM Publicado: #67
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Problema 11. Determine todos los números naturales n tales que (n - 2)! + (n + 2)! es un cuadrado perfecto. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 05:41 PM Publicado: #68
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	.,.,., Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 02:43 PM

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 06:08 PM Publicado: #69
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se le recuerda a los usuarios que la solución debe ir en spoiler. --------------------

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2012, 06:25 PM Publicado: #70
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Queria agregar que uno puede demostrar el siguiente resultado mas general: Sea P un polinomio de coeficientes enteros. La cantidad n!P(n) puede ser una potencia (cuadrado, o cubo, o etc) para a lo mas un numero finito de valores de n, y estas finitas soluciones se pueden encontrar en la practica. Idea de la demostracion: sea T(n) el producto de todos los primos p en el intervalo n/2<p<n. Los primos que dividen T(n) estan con exponente 1 en n! asi que basta mostrar que si n es suficientemente grande entonces algun factor primo de T(n) no divide P(n). Para esto basta mostrar que si n es suficientemente grande entonces T(n)>\|P(n)\| o equivalentemente basta mostrar que log T(n)>log\|P(n)\|. Es facil ver que hay constantes A,B>0 calculables en la practica tal que log\|P(n)\|<A log(n) para todo n>B. Ademas hay una constante C fija (que no me acuerdo pero debe ser algo asi como C=10 o 20) tal que log T(n) >0.1 n para todo n>C. Esto es sabido por los trabajos de Chebychev (hoy se sabe mucho mas, o sea, ese 0.1 se puede cambiar por 0.9 o 0.99 o 0.999, etc al costo de hacer crecer C). Si M=max(B,C) entonces M es calculable y tenemos que log T(n)>0.1 n > A log(n)>log\|P(n)\| donde la desigualdad de la mitad es valida para n grande (uno puede calcular desde que punto en adelante). Esto termina la demostracion. Notar que hemos demostrado mas. Lo que de verdad demostramos es que para n grande, el numero n!P(n) tiene algun factor primo con exponente 1. Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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