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[Maratón] Teoría de Números

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 08:36 PM Publicado: #51
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para $TEX: $p>2$$ un primo impar, si $TEX: $p\|m-1$$ entonces se debe cumplir que $TEX: $v_p(m^k-1)=v_p(m-1)+v_p(k)\ge 2v_p(m-1)$$ es decir $TEX: $v_p(m-1)\le v_p(k)$$ . Para $TEX: $p=2$$ escribamos $TEX: $m-1=2^ts$$ donde $TEX: $t=v_2(m-1)$$ , necesitamos que $TEX: $2t\le v_2(m^k-1)$$ , o bien $TEX: $0\equiv m^k-1=\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}s^i2^{ti}=sk2^t+2^{2t}\sum_{i=2}^k\binom{k}{i}s^i2^{t(i-2)}\equiv sk2^t\mod_{2^{2t}}$$ Como $TEX: $(m,2)=1$$ se tiene que $TEX: $2^t\mid k$$ , reuniendo todo tenemos que $TEX: $k=(m-1)r$$ con $TEX: $r\in\mathbb{N}$$ Mensaje modificado por snw el Aug 20 2012, 10:15 PM -------------------- blep

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 09:40 PM Publicado: #52
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Yo no propuse el problema asi que no puedo dar mi opinion sobre si la solucion anterior es correcta o no. Pero queria mencionar (para facilitar la lectura de otros usuarios) que la propiedad magica que esta usando snw es: "Lifting the exponent lemma" -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 09:59 PM Publicado: #53
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	CITA(snw @ Aug 20 2012, 09:36 PM) Para $TEX: $p>2$$ un primo impar, si $TEX: $p\|m-1$$ entonces se debe cumplir que $TEX: $v_p(m^k-1)=v_p(m-1)+v_p(k)\ge 2v_p(m-1)$$ es decir $TEX: $v_p(m-1)\le v_p(k)$$ . Para $TEX: $p=2$$ escribamos $TEX: $m-1=2^ts$$ donde $TEX: $t=v_2(m-1)$$ , necesitamos que $TEX: $2t\le v_2(m^k-1)$$ , o bien $TEX: $0\equiv m^k-1=\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}s^i2^{ti}=mk+2^{2t}\sum_{i=2}^k\binom{k}{i}s^i2^{t(i-2)}\equiv mk\mod_{2^{2t}}$$ Como $TEX: $(m,2)=1$$ se tiene que $TEX: $2^{2t}\mid k$$ , reuniendo todo tenemos que $TEX: $k=(m-1)2^{v_2(m-1)}r$$ con $TEX: $r\in\mathbb{N}$$ Si consideramos m=5, propones que los enteros que sirven son de la forma $TEX: $k=16r, r \in \mathbb{N}$$ . Sin embargo, k=4,8,20, por dar ejemplos, satisfacen lo pedido y no están contemplados en dicha familia.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:14 PM Publicado: #54
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Marchiant Zotelo @ Aug 20 2012, 11:59 PM) Si consideramos m=5, propones que los enteros que sirven son de la forma $TEX: $k=16r, r \in \mathbb{N}$$ . Sin embargo, k=4,8,20, por dar ejemplos, satisfacen lo pedido y no están contemplados en dicha familia. Ufff media pifia, ahi lo arregle -------------------- blep

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:21 PM Publicado: #55
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Una solución alternativa: $TEX: Si $(m-1)^{2} \| m^{k}-1$ entonces $(m-1) \| (m^{k-1}+m^{k-2}+\ldots+m+1)$. Como<br /><br />$(m^{k-1}+m^{k-2}+\ldots+m+1) = (m^{k-1}-1) + \ldots + (m-1) + k $<br /><br />se sigue que $(m-1)\|k$. El converso se prueba de manera análoga (i.e., factorizando y sumando un cero).<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:37 PM Publicado: #56
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	CITA(snw @ Aug 20 2012, 09:36 PM) Para $TEX: $p>2$$ un primo impar, si $TEX: $p\|m-1$$ entonces se debe cumplir que $TEX: $v_p(m^k-1)=v_p(m-1)+v_p(k)\ge 2v_p(m-1)$$ es decir $TEX: $v_p(m-1)\le v_p(k)$$ . Para $TEX: $p=2$$ escribamos $TEX: $m-1=2^ts$$ donde $TEX: $t=v_2(m-1)$$ , necesitamos que $TEX: $2t\le v_2(m^k-1)$$ , o bien $TEX: $0\equiv m^k-1=\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}s^i2^{ti}=sk2^t+2^{2t}\sum_{i=2}^k\binom{k}{i}s^i2^{t(i-2)}\equiv sk2^t\mod_{2^{2t}}$$ Como $TEX: $(m,2)=1$$ se tiene que $TEX: $2^t\mid k$$ , reuniendo todo tenemos que $TEX: $k=(m-1)r$$ con $TEX: $r\in\mathbb{N}$$ Ahora sí. Te toca proponer snw. CITA(coquitao @ Aug 20 2012, 11:21 PM) Una solución alternativa: $TEX: Si $(m-1)^{2} \| m^{k}-1$ entonces $(m-1) \| (m^{k-1}+m^{k-1}+\ldots+m+1)$. Como<br /><br />$(m^{k-1}+m^{k-2}+\ldots+m+1) = (m^{k-1}-1) + \ldots + (m-1) + k $<br /><br />se sigue que $(m-1)\|k$. El converso se prueba de manera análoga (i.e., factorizando y sumando un cero).<br />$ Este camino era más viable. Correcto Coquitao, pero swn ya rectificó

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:39 PM Publicado: #57
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 20 2012, 11:21 PM) Una solución alternativa: $TEX: Si $(m-1)^{2} \| m^{k}-1$ entonces $(m-1) \| (m^{k-1}+m^{k-1}+\ldots+m+1)$. Como<br /><br />$(m^{k-1}+m^{k-2}+\ldots+m+1) = (m^{k-1}-1) + \ldots + (m-1) + k $<br /><br />se sigue que $(m-1)\|k$. El converso se prueba de manera análoga (i.e., factorizando y sumando un cero).<br />$ Esto es un comentario sin relacion al tema: He notado que dices cosas como "el converso" en lugar de "el reciproco" o "sugestion" en vez de "sugerencia". Se nota que lees harto en ingles, pero hay que tener cuidado con eso de traducir el lenguaje matematico. Ejemplos pesimos de uso comun: Algebra lineal: entrada de una matriz (matrix entry) deberia ser "coeficiente" o "coordenda", pero las matrices no tienen entradas (ni salidas...) Sistemas dinamicos: base de atraccion (basin of attraction) deberia ser "cuenca" (que tiene mucho mas sentido!) Ecuaciones diferenciales: el metodo de los aniquiladores (annihilators) deberia ser "anuladores" En cierta tesis de teoria de numeros escrita en espagnol, una vez lei el termino "apareamiento de Neron y Tate" como traduccion de "Neron-Tate pairing". Era muy gracioso, porque lo mencionaban a cada rato. Una traduccion mucho mas adecuada seria "forma bilineal de Neron y Tate". etc... -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:51 PM Publicado: #58
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Pasten @ Aug 20 2012, 10:39 PM) Esto es un comentario sin relacion al tema: He notado que dices cosas como "el converso" en lugar de "el reciproco" o "sugestion" en vez de "sugerencia". Se nota que lees harto en ingles, pero hay que tener cuidado con eso de traducir el lenguaje matematico. Ejemplos pesimos de uso comun: Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 10:55 PM Publicado: #59
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Pasten @ Aug 20 2012, 09:39 PM) Esto es un comentario sin relacion al tema: He notado que dices cosas como "el converso" en lugar de "el reciproco" o "sugestion" en vez de "sugerencia". Se nota que lees harto en ingles, pero hay que tener cuidado con eso de traducir el lenguaje matematico. Ejemplos pesimos de uso comun: Bueno, la de "sugestión" era mofándome precisamente de la actitud que dices. "Converso" según yo sí tenía sentido, pero tienes razón (no sale en el diccionario)... Otro ejemplo del fénomeno en cuestión que me resulta harto hilarante es el uso de "asumamos". @Kaissa: Bite me! -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2012, 11:11 PM Publicado: #60
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $P$$ un polinomio no constante con coeficientes enteros y positivos. Encontrar todos los naturales $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ tales que $TEX: $P(n)\mid P(P(n)+1)$$ -------------------- blep

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