[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 18 2012, 10:26 PM Publicado: #41
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No había leído lo de Kaissa, y creo que tiene razón, seamos medidos con lo que respondemos y proponemos. Señor coquitao, ya pasaron mas de 24 hrs desde que el problema fue propuesto, así que debes poner un hint. saludos, y que siga la maratón --------------------

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 07:56 AM Publicado: #42
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Sugestión: ¿Se podrá intercalar la expresión de la derecha entre dos cuadrados perfectos consecutivos? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 12:23 PM Publicado: #43
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	probando para $TEX: $ b<3$$ , vemos que no hay solución, luego si existe solución para 3+x, con $TEX: $x>0$$ Osea $TEX: $1+(3+x)+(3+x)^2+(3+x)^3+(3+x)^4=121 + 142 x + 64 x^2 + 13 x^3 + x^4=k^2$$ entonces $TEX: $(10+8x+x^2)^2<k^2<(11+8x+x^2)^2$$ , luego k no es cuadrado perfecto para $x>1 $ la primera linea equivale a 3x³+20x²+18x<21 si x>1 3x³+20x²+18x>41 pero 1+3+9+27+81=121=11² Mensaje modificado por luis_fz el Aug 19 2012, 09:52 PM

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 12:23 PM Publicado: #44
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	se postio doble, lo siento Mensaje modificado por luis_fz el Aug 19 2012, 12:51 PM

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 03:59 PM Publicado: #45
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	$TEX: <br />\noindent<br />Si $b=1,2$ no hay solución. Para $b$ impar y $b\geq 3$, se satisface que $$\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\geq b^4+b^3+b^2+b+1>\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2$$<br />\\<br />$ Obs: $TEX: \noindent<br />Las expresiones en paréntesis, al elevarlas al cuadrado, tienen como primeros términos a $b^4$ y $b^3$, luego esto hace sencilla la comparación con $b^4+b^3+b^2+b+1$, de donde se verifican las desigualdades con facilidad. De ahí la idea de tomar $(1/2)\cdot b$.<br />$ $TEX: \noindent<br />Luego la expresión en cuestión, al estar entre dos cuadrados consecutivos, de ser un cuadrado perfecto debe ser igual al término de la izquierda (pues la desigualdad es estricta en la derecha).\\<br />Luego $\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2= b^4+b^3+b^2+b+1 \Longleftrightarrow b^2-2b-3=0$. De esta última ecuación, se obtienen $b=-1$, y $b=3$. Luego se concluye que $b=3$, y por tanto, $a=11$.\\<br />Para $b$ par y $b\geq 3$, se verifica la desigualdad estricta $$\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+1\right)^2> b^4+b^3+b^2+b+1>\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b\right)^2$$ Luego al estar entre dos cuadrados perfectos consecutivos, se sigue que no puede ser cuadrado perfecto.<br />\noindent<br />Luego la única solución es $b=3$, $a=11$.<br />$ Das ist alles. Tschüss Mensaje modificado por Marchiant Zotelo el Aug 19 2012, 08:23 PM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 07:45 PM Publicado: #46
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	EDIT: Un momento... La primera desigualdad en la penúltima línea del argumento de luis_fz no es válida cuando x>2. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 07:48 PM Publicado: #47
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se le recuerda a los usuarios que las soluciones DEBEN ir con SPOILER. Saludos --------------------

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 08:58 PM Publicado: #48
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Marchiant Zotelo @ Aug 19 2012, 02:59 PM) $TEX: <br />\noindent<br />Si $b=1,2$ no hay solución. Para $b$ impar y $b\geq 3$, se satisface que $$\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\geq b^4+b^3+b^2+b+1>\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2$$<br />\\<br />$ Obs: $TEX: \noindent<br />Las expresiones en paréntesis, al elevarlas al cuadrado, tienen como primeros términos a $b^4$ y $b^3$, luego esto hace sencilla la comparación con $b^4+b^3+b^2+b+1$, de donde se verifican las desigualdades con facilidad. De ahí la idea de tomar $(1/2)\cdot b$.<br />$ $TEX: \noindent<br />Luego la expresión en cuestión, al estar entre dos cuadrados consecutivos, de ser un cuadrado perfecto debe ser igual al término de la izquierda (pues la desigualdad es estricta en la derecha).\\<br />Luego $\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2= b^4+b^3+b^2+b+1 \Longleftrightarrow b^2-2b-3=0$. De esta última ecuación, se obtienen $b=-1$, y $b=3$. Luego se concluye que $b=3$, y por tanto, $a=11$.\\<br />Para $b$ par y $b\geq 3$, se verifica la desigualdad estricta $$\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b+1\right)^2> b^4+b^3+b^2+b+1>\left(b^2+\displaystyle\frac{1}{2}b\right)^2$$ Luego al estar entre dos cuadrados perfectos consecutivos, se sigue que no puede ser cuadrado perfecto.<br />\noindent<br />Luego la única solución es $b=3$, $a=11$.<br />$ Das ist alles. Tschüss Solución impecable. Propones Marchiant Zotelo. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 09:44 PM Publicado: #49
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	habia calculado mal ahora lo arregle. despues pongo en detalle la solucion saludos

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2012, 10:09 PM Publicado: #50
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	$TEX: \noindent<br />Dado $m\geq 1$, determinar los enteros $k\geq 1$, tales que $(m-1)^2\|m^k-1$<br />$

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