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[Maratón] Teoría de Números

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2012, 01:41 PM Publicado: #211
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	editado -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2012, 03:21 PM Publicado: #212
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	weno, al menos me salió el análisis pa p>3 xD -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2012, 06:00 PM Publicado: #213
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Resta determinar los números naturales $k>1$ tales que tanto $3+2^{k}$ como $3+2^{k}+2$ sean números primos. Es claro que $k$ tiene que ser impar. Más aún, al trabajar módulo $5$, podemos notar que $k$ tiene que ser de la forma $3+4(n-1)$ para algún $n \in \mathbb{N}.$<br /><br />$\noindent$<br /><br />Si $n=3u+2$ para algún $u \in \mathbb{Z}^{+}$, entonces $k=12u+7$. Del pequeño teorema de Fermat se desprende entonces que $2^{k}+2+3 \equiv 0 \pmod{7}.$<br /><br />$\noindent$<br /><br />Si $n=3u$ para algún $u \in \mathbb{N}$, entonces $k= 12u-1$. Del pequeño teorema de Fermat se colige entonces que $2^{k}+3 \equiv 0 \pmod{7}$.<br /><br />$\noindent$<br /><br />Finalmente, si $n=3u+1$ para algún $u \in \mathbb{N}$, entonces $k=12u+3$. Por el pequeño teorema de Fermat tenemos nuevamene que $2^{k} \equiv 8 \pmod{13}$ y por consiguiente, $2^{k}+2+3 \equiv 0 \pmod{13}.$<br /><br />$\noindent$<br /><br />De todo esto se desprende que aparte de la opción trivial $k=1$, $k=3$ es la única otra asignación para la cual tanto $3+2^{k}$ como $3+2^{k}+2$ resultan ser números primos.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2012, 09:48 PM Publicado: #214
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Dado que coquitao determinó todos los pares, propones.

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2012, 12:05 PM Publicado: #215
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución: La ecuación se puede reescribir como: $TEX: $((x+y)^2-3xy)(x+y-1)=xy(xy+3)$$ y haciendo $TEX: $x+y=u$$ y $TEX: $xy=v$$ (notar que para $TEX: $x,y$$ enteros positivos $TEX: $u\geq 2$$ ) lo anterior es: $TEX: $(u^2-3v)(u-1)=v(v+3)$$ . Ahora expandiendo y resolviendo la cuadrática para $TEX: $v$$ tenemos: $TEX: $v=\dfrac{-3u\pm3\sqrt{(u-1)^2+(2+\frac{4}{9}u^2)(u-1)+1}}{2}$$ y como la parte bajo la raíz es de la forma $TEX: $k^2+(2+\frac{4}{9}u^2)k+1$$ y debe ser un cuadrado tendremos dos casos, el primero es que $TEX: $k^2+(2+\frac{4}{9}u^2)k+1=(k\pm 1)^2 $$ y el segundo que $TEX: $k=0$$ pues así la expresión toma el valor 1, un cuadrado, para cualquier $TEX: $u$$ . En el primer caso tendremos que $TEX: $2+\frac{4}{9}u^2=\pm2$$ , es decir $TEX: $u=0$$ , en el segundo tendremos que $TEX: $k=u-1=0$$ , es decir $TEX: $u=1$$ . Deducimos que no hay soluciones enteras positivas pues $TEX: $u<2$$ . Nota: Es fácil ver que en ambos casos $TEX: $v=0$$ luego las soluciones enteras son $TEX: $(1,0);(0,1);(0,0)$$ . Mensaje modificado por Javier Gómez L. el Oct 12 2012, 04:21 PM -------------------- Gavier Zómej Hola

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2012, 11:27 PM Publicado: #216
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Javier Gómez L. @ Oct 12 2012, 10:05 AM) Solución: La ecuación se puede reescribir como: $TEX: $((x+y)^2-3xy)(x+y-1)=xy(xy+3)$$ y haciendo $TEX: $x+y=u$$ y $TEX: $xy=v$$ (notar que para $TEX: $x,y$$ enteros positivos $TEX: $u\geq 2$$ ) lo anterior es: $TEX: $(u^2-3v)(u-1)=v(v+3)$$ . Ahora expandiendo y resolviendo la cuadrática para $TEX: $v$$ tenemos: $TEX: $v=\dfrac{-3u\pm3\sqrt{(u-1)^2+(2+\frac{4}{9}u^2)(u-1)+1}}{2}$$ y como la parte bajo la raíz es de la forma $TEX: $k^2+(2+\frac{4}{9}u^2)k+1$$ y debe ser un cuadrado tendremos dos casos, el primero es que $TEX: $k^2+(2+\frac{4}{9}u^2)k+1=(k\pm 1)^2 $$ y el segundo que $TEX: $k=0$$ pues así la expresión toma el valor 1, un cuadrado, para cualquier $TEX: $u$$ . En el primer caso tendremos que $TEX: $2+\frac{4}{9}u^2=\pm2$$ , es decir $TEX: $u=0$$ , en el segundo tendremos que $TEX: $k=u-1=0$$ , es decir $TEX: $u=1$$ . Deducimos que no hay soluciones enteras positivas pues $TEX: $u<2$$ . Nota: Es fácil ver que en ambos casos $TEX: $v=0$$ luego las soluciones enteras son $TEX: $(1,0);(0,1);(0,0)$$ . Hay varios "detalles" que arreglar en el párrafo 4 (el que empieza con "y como la parte bajo..."). La expresión dentro del radical bien pudiera ser el cuadrado de un racional no entero... Otro punto que no queda claro es cómo llegas a que en el primer caso debe ser $TEX: $k^{2}+(2+\frac{4}{9}u^{2})k + 1 =(k \pm 1)^{2}$.$ En sí, vas por buen camino pero hay trabajo que hacer aún... Por cierto, para reescribir la ecuación original bastaba con notar que $TEX: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) = (x+y)((x+y)^{2}-3xy).$$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2013, 12:21 AM Publicado: #217
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para está solución, me guio el ex-usuario Pedantic Anarchy, salu2 !!! Sea $TEX: $\displaystyle u=x+y$$ y $TEX: $\displaystyle v=xy$$ , entonces la ecuación se reescribe como: $TEX: $\displaystyle u(u^{2}-3v)=u^{2}+v^{2}$$ Lo que es equivalente a: $TEX: $\displaystyle u^{3}-3uv=u^{2}+v^{2}$$ Luego, sea $TEX: $\displaystyle d=(u,v)$$ , tenemos que $TEX: $\displaystyle u=d{u}'$$ y $TEX: $\displaystyle v=d{v}'$$ , con $TEX: $\displaystyle ({u}',{v}')=1$$ , entonces: $TEX: $\displaystyle d^{3}{u}'^{3}-3d^{2}{u}'{v}'=d^{2}{u}'^{2}+d^{2}{v}'^{2}$$ $TEX: $\displaystyle d{u}'^{3}-3{u}'{v}'={u}'^{2}+{v}'^{2}$$ De la ecuación anterior concluimos que $TEX: $\displaystyle {u}'\|{v}'^{2}$$ , por consiguiente $TEX: $\displaystyle {u}'=1$$ . Si $TEX: $\displaystyle {u}'=1$$ implica que $TEX: $\displaystyle d=x+y$$ , entonces tenemos que $TEX: $\displaystyle x+y\|xy$$ y usando este hecho en la ecuación original, llegamos a que: $TEX: $\displaystyle (x+y)^{2}\|x^{3}+y^{3}$$ Sea $TEX: $\displaystyle p$$ un primo tal que $TEX: $\displaystyle p\|x+y$$ y $TEX: $\displaystyle v_{p}(x+y)=t$$ , entonces por el Lema de Hensel obtenemos que: $TEX: $\displaystyle v_{p}(x^{3}+y^{3})=v_{p}(x+y)+v_{p}(3)=t+v_{p}(3)\geq v_{p}((x+y)^{2})=2t$$ $TEX: $\displaystyle v_{p}(3)\geq t$$ Entonces si $TEX: $\displaystyle p\neq 3$$ llegamos a un absurdo, luego $TEX: $\displaystyle p=3$$ y $TEX: $\displaystyle t=1$$ , en consecuencia $TEX: $\displaystyle x+y=3$$ . Probando las posibles soluciones, concluimos finalmente que la ecuación no admite soluciones enteras positivas $TEX: $\displaystyle \blacksquare $$ -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

kiragoras Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2013, 12:41 AM Publicado: #218
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 27-May 12 Miembro Nº: 106.526 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Seba² @ Jan 4 2013, 12:21 AM) Para está solución, me guio el ex-usuario Pedantic Anarchy, salu2 !!! Sea $TEX: $\displaystyle u=x+y$$ y $TEX: $\displaystyle v=xy$$ , entonces la ecuación se reescribe como: $TEX: $\displaystyle u(u^{2}-3v)=u^{2}+v^{2}$$ Lo que es equivalente a: $TEX: $\displaystyle u^{3}-3uv=u^{2}+v^{2}$$ Luego, sea $TEX: $\displaystyle d=(u,v)$$ , tenemos que $TEX: $\displaystyle u=d{u}'$$ y $TEX: $\displaystyle v=d{v}'$$ , con $TEX: $\displaystyle ({u}',{v}')=1$$ , entonces: $TEX: $\displaystyle d^{3}{u}'^{3}-3d^{2}{u}'{v}'=d^{2}{u}'^{2}+d^{2}{v}'^{2}$$ $TEX: $\displaystyle d{u}'^{3}-3{u}'{v}'={u}'^{2}+{v}'^{2}$$ De la ecuación anterior concluimos que $TEX: $\displaystyle {u}'\|{v}'^{2}$$ , por consiguiente $TEX: $\displaystyle {u}'=1$$ . Si $TEX: $\displaystyle {u}'=1$$ implica que $TEX: $\displaystyle d=x+y$$ , entonces tenemos que $TEX: $\displaystyle x+y\|xy$$ y usando este hecho en la ecuación original, llegamos a que: $TEX: $\displaystyle (x+y)^{2}\|x^{3}+y^{3}$$ Sea $TEX: $\displaystyle p$$ un primo tal que $TEX: $\displaystyle p\|x+y$$ y $TEX: $\displaystyle v_{p}(x+y)=t$$ , entonces por el Lema de Hensel obtenemos que: $TEX: $\displaystyle v_{p}(x^{3}+y^{3})=v_{p}(x+y)+v_{p}(3)=t+v_{p}(3)\geq v_{p}((x+y)^{2})=2t$$ $TEX: $\displaystyle v_{p}(3)\geq t$$ Entonces si $TEX: $\displaystyle p\neq 3$$ llegamos a un absurdo, luego $TEX: $\displaystyle p=3$$ y $TEX: $\displaystyle t=1$$ , en consecuencia $TEX: $\displaystyle x+y=3$$ . Probando las posibles soluciones, concluimos finalmente que la ecuación no admite soluciones enteras positivas $TEX: $\displaystyle \blacksquare $$ OFFTOPIC: que es de pedantic??

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 12 2013, 11:48 PM Publicado: #219
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Seba² @ Jan 3 2013, 10:21 PM) ... entonces por el Lema de Hensel obtenemos que: $TEX: $\displaystyle v_{p}(x^{3}+y^{3})=v_{p}(x+y)+v_{p}(3)=t+v_{p}(3)\geq v_{p}((x+y)^{2})=2t$$ $TEX: $\displaystyle v_{p}(3)\geq t$$ Según recuerdo, para poder aplicar esta versión del LTE se requiere que $TEX: $p$$ no divida a $TEX: $xy$$ ... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Multi-Kill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2013, 11:26 AM Publicado: #220
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 12-October 10 Miembro Nº: 78.551 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Oct 5 2012, 09:55 PM) Creo que ya es hora de cambiar el problema. $TEX: \textsf{Problema.} Determine si la ecuación $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2}+(xy)^{2}$ admite o no soluciones en enteros positivos.$ $TEX: Del intento de $Seba^2$ tenemos que $(x+y)\|xy$. Escribamos $xy=k(x+y)$, sustituyendo en la ecuación inicial y reduciendo tenemos que $x+y=1+3k+k^2$, lo que implica directamente que $xy=k+3k^2+k^3$, resolviendo en $x$ concluimos que $x^2-(1+3k+k^2)x+k(1+3k+k^2)=0$, como x es entero tenemos que la discriminante de esta ecuación es un cuadrado perfecto, es decir existe un $z$ entero tal que $z^2=(1+3k+k^2)^2-4k(1+3k+k^2)=(1+3k+k^2)(1-k+k^2)$, sea $d=gcd(1+3k+k^2,1-k+k^2)$, luego si $p\|d$ tenemos que $p\|4k$, si $p\|k$ y $p\|1-k+k^2$ tenemos que $p\|1$, contradicción, y ademas $p$ es impar porque $1-k+k^2$ es impar, luego $d=1$, esto implica que tanto $1-k+k^2$ como $1+3k+k^2$ son cuadrados perfectos, pero $1-k+k^2$ solo es cuadrado perfecto para $k=1$ o $k=0$, pero solo $k=0$ cumple que $1+3k+k^2$ lo sea, luego $k=0$, pero esto implicaría que $x$ o $y$ son iguales a $0$, lo que contradice la hipótesis inicial. Luego no existen soluciones a la ecuación en los enteros positivos. Finalizamos$ Saludos

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