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[Maratón] Teoría de Números

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 08:00 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	@12321: ¿Estás ahí? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 08:46 PM Publicado: #22
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 17 2012, 09:00 PM) @12321: ¿Estás ahí? aca estoy, claramente tu solucion es correcta, porfa propon

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 08:48 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Problema 5. $TEX: Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:18 PM Publicado: #24
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Suponga que p es un primo distinto de 5, luego por el Pequeño Teorema de Fermat tenemos que $TEX: $\displaystyle p^4\equiv 1mod5$$ , y si remplazamos en la expresion $TEX: $\displaystyle 8p^{4}-3003\doteq 8-3003\equiv 0mod5$$ , luego el único caso es que $TEX: $\displaystyle 8p^{4}-3003=5$$ , esto nos lleva a que $TEX: $\displaystyle p^{4}=376$$ , pero esto es una contradicción puesto que $TEX: $\displaystyle e_{2}(376)=3$$ , entonces basta probar p=5, lo que nos da un resultado negativo, luego no existen primos p que cumplan lo pedido. Saludos !!! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:21 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Seba² @ Aug 17 2012, 08:18 PM) Solución: Suponga que p es un primo distinto de 5, luego por el Pequeño Teorema de Fermat tenemos que $TEX: $\displaystyle p^4\equiv 1mod5$$ , y si remplazamos en la expresion $TEX: $\displaystyle 8p^{4}-3003\doteq 8-3003\equiv 0mod5$$ , luego el único caso es que $TEX: $\displaystyle 8p^{4}-3003=5$$ , esto nos lleva a que $TEX: $\displaystyle p^{4}=376$$ , pero esto es una contradicción puesto que $TEX: $\displaystyle e_{2}(376)=3$$ , entonces basta probar p=5, lo que nos da un resultado negativo, luego no existen primos p que cumplan lo pedido. Saludos !!! Con p=5, ¿no da un primo? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:24 PM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Disculpa me apuré mucho , claramente si p=5 la expresion nos da 1997, lo que es un primo(Basta usar el lema de que un número es primo si y solo no tiene divisores positivos menores o iguales que su raiz)... Salu2 ! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:26 PM Publicado: #27
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Listo... Propones ahora. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:30 PM Publicado: #28
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6. Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación: $TEX: $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2013xy$$ -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:44 PM Publicado: #29
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Si $(x,y)$ es solución entonces $y^{2}(2013^{2}-2^{2})=y^{2}(2013-2)(2013+2)$ es un cuadrado perfecto. La única manera en que esto ocurra es que $y=0$. Luego, la única solución es $x=0=y$.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 09:45 PM Publicado: #30
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solucion: notemos que $TEX: $$x$$$ e $TEX: $$y$$$ deben tener el mismo signo, luego nos podemos restringir a $TEX: $$x$$$ , $TEX: $$y$$$ enteros positivos, supongamos que tenemos $TEX: $$x_{1}$$$ , $TEX: $$y_{1}$$$ son solución con $TEX: $$max\left \{ x_{1},y_{1} \right \}$$$ minimo, ahora tenemos que: $TEX: $$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=2013x_{1}y_{1}$$$ $TEX: $$(x_{1}-y_{1})^{2}=2011x_{1}y_{1}$$$ Luego sin perdida de generalidad $TEX: $$x_{1}=2011x_{0}$$$ , remplazando $TEX: $$2011^{2}x_{0}^{2}+y_{1}^{2}=2013\cdot 2011x_{0}y_{1}$$$ de donde 2011 divide a $TEX: $$y_{1}$$$ , luego $TEX: $$y_{1}=2011y_{0}$$$ , remplazando $TEX: $$2011^{2}x_{0}^{2}+2011^{2}y_{0}^{2}=2013\cdot 2011^{2}x_{0}y_{0}$$$ $TEX: $$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=2013x_{0}y_{0}$$$ Lo que contradice que $TEX: $$max\left \{ x_{1},y_{1} \right \}$$$ sea minimo, luego solo posee solucion trivial $TEX: $$x=y=0$$$ Slowpoke Mensaje modificado por Heiricar el Aug 18 2012, 01:16 AM

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