[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 12:32 AM Publicado: #191
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Correcto, propones. Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 28 2012, 12:36 AM

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 12:36 AM Publicado: #192
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Editado, propongo el siguiente problema: Problema. Encuentre todos los enteros positivos x tal que: $TEX: $\displaystyle \left \lfloor \frac{x}{\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor} \right \rfloor=100$$ Donde $TEX: $\displaystyle \left \lfloor x \right \rfloor$$ representa al mayor entero menor o igual a $TEX: $\displaystyle x$$ . Salu2 !!! Mensaje modificado por Seba² el Sep 28 2012, 12:37 AM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 12:50 PM Publicado: #193
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Sea $TEX: \[x=a^2+k\]$ con $TEX: \[k=\left \{0,1,...,2a\right \}\]$ , es decir, $TEX: \[x=\left \{a^2,a^2+1,...,(a+1)^2-1\right \}\]$ $TEX: \[\Rightarrow \left \lfloor \frac{x}{\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor} \right \rfloor\]$ $TEX: \[=\left \lfloor \frac{a^2+k}{\left \lfloor \sqrt{a^{2}+k} \right \rfloor} \right \rfloor\]$ Como $TEX: \[a\leq \sqrt{a^2+k}< a+1\]$ con $TEX: \[a\]$ entero positivo. $TEX: \[\Rightarrow \left \lfloor \sqrt{a^2+k} \right \rfloor=a\]$ $TEX: \[\therefore \left \lfloor \frac{x}{\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{a^2+k}{a} \right \rfloor =\left \lfloor a+\frac{k}{a} \right \rfloor\]$ Pero $TEX: \[a\leq a+\frac{k}{a}\leq a+2 \therefore \left \lfloor a+\frac{k}{a} \right \rfloor=\left \{ a,a+1,a+2 \right \}\]$ $TEX: \[\therefore a=100; a=99;a=98\]$ $TEX: \[\Rightarrow x=100^2+k;k=\left \{ 0,1,...,99 \right \}\]$ $TEX: \[;x=99^2+k_{2};k_{2}=\left \{99,100,...,99\cdot 2-1=197 \right \}\]$ $TEX: \[;x=98^2+k_{3};k_{3}=\left \{98\cdot 2=196\right \}\]$

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 07:15 PM Publicado: #194
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto, propones (: -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 07:15 PM Publicado: #195
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	. Mensaje modificado por Seba² el Sep 28 2012, 07:15 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 09:56 PM Publicado: #196
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Determinar todos los enteros $TEX: \[k\]$ tales que $TEX: \[\sqrt{k^2-7k}\]$ sea un número cardinal (natural unido con 0) He estado modificando el ejercicio, este es el verdadero. Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 28 2012, 10:07 PM

Esteban Cea Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 10:34 PM Publicado: #197
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 291 Registrado: 30-September 10 Desde: Angol Miembro Nº: 77.948 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Nunca e hecho un ejercicio de estos, espero lo que ise este bien y si no, no me reten Nose explicarlo en palabra pero creo que se entiende $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\sqrt{k^2-7k}=t \\<br />k^2-t^2=7k \\ <br />(k-t)(k+t)=7k \\<br />k=k\pm t \\<br />t=0 \\<br />\therefore \sqrt{k(k-7)}=0 \\<br />k(k-7)=0 \\<br />k=0 \wedge k=7<br /> \end{aligned}<br />\end{equation}$ Si llegase a estar bien, Paso.. -------------------- "Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas"

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 10:46 PM Publicado: #198
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Efectivamente son dos soluciones correctas (cuando la raíz es 0) pero aun faltan otras soluciones enteras. Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 28 2012, 10:48 PM

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 11:26 PM Publicado: #199
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	$TEX: <br />\noindent Para $k \geq 17$ se cumple que $(k-4)^2< k^2-7k< (k-3)^2$. Es decir, la expresión al estar entre dos cuadrados perfectos consecutivos, no puede ser cuadrado perfecto. Por lo tanto, solo habría que verificar los casos restantes. Se observa que $k=0,7,16$ son las únicas soluciones.<br />$ $TEX: <br />\noindent Otra forma es notar que si $k>7$ se tiene que $(k,k-7)= 1$ o bien $(k,k-7)=7$. En el primer caso, como son coprimos, la única forma de obtener un cuadrado perfecto es que ambos lo sean, por lo que $k=16$ es la única solución (Me ahorro la prueba, pues es inmediata). En el segundo caso, digamos que $k=7a$ y $k-7=7b$, entonces $7a-7=7b$, luego $a-b=1$, es decir,$a$ y $b$ son consecutivos, y por tanto, coprimos, luego $k(k-7)$ no puede ser un cuadrado perfecto. Por otro lado, es evidente que k=0, 7 son soluciones.<br />$

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2012, 04:08 PM Publicado: #200
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Falta otra solución, además del 0, el 7 y 16; Notar que k es entero (positivo o negativo)

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