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[Maratón] Teoría de Números

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 08:12 PM Publicado: #181
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Pruebe que $TEX: \[n^{n-1}-1\]$ es divisible por $TEX: \[(n-1)^2\]$ para todo entero $TEX: \[n> 1\]$

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 08:34 PM Publicado: #182
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solucion: Como $TEX: $$(n-1)^{2}\mid n^{n-1}-1 \Leftrightarrow$$$ $TEX: $$k(n-1)^{2}= n^{n-1}-1 \Leftrightarrow$$$ $TEX: $$k(n-1)^{2}= (n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+1) \Leftrightarrow$$$ $TEX: $$k(n-1)=n^{n-2}+n^{n-3}+...+1 \Leftrightarrow$$$ $TEX: $$n-1\mid n^{n-2}+n^{n-3}+...+1$$$ Luego basta con demostrar $TEX: $$ n-1\mid n^{n-2}+n^{n-3}+...+1 $$$ , pero esto es claramente cierto ya que si recordamos, una propiedad básica es que $TEX: $$n-1\mid n^{k}-1$$$ para todo entero $TEX: $$k>0$$$ , en particular para $TEX: $$k=1,2,3,...,n-2$$$ , luego $TEX: $$n-1\mid n^{n-2}+n^{n-3}+...+1 \Leftrightarrow$$$ $TEX: $$n-1\mid n^{n-2}-(n^{n-2}-1)+n^{n-3}-(n^{n-3}-1)+...+n-(n-1)+1=1+1+1...+1=n-1$$$ , probando lo pedido Mensaje modificado por Heiricar el Sep 27 2012, 08:36 PM

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 08:47 PM Publicado: #183
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Correcto, propone Heiricar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 08:53 PM Publicado: #184
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Notar que: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=57076&hl= Saludos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 09:00 PM Publicado: #185
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema: Probar que $TEX: $n-v_{2}(n!)$$ es el numero de 1's que aparecen al escribir a $TEX: $n$$ en binario Nota: $TEX: $v_{p}(a)$$ es el exponente de la mayor potencia de p que divide a $TEX: $a$$ No se asusten Mensaje modificado por Heiricar el Sep 27 2012, 09:04 PM

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 09:01 PM Publicado: #186
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA(coquitao @ Sep 27 2012, 09:53 PM) Notar que: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=57076&hl= Saludos. Alabado sea Gauss Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 27 2012, 11:11 PM

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 11:09 PM Publicado: #187
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Primero representare "el numero de 1's que aparecen al escribir a n en binario" con el símbolo $TEX: \[\psi (n)_{2}\]$ , luego separaremos la demostración en dos casos: Caso 1: sea "k" par, entonces, la terminación binaria de "k" será "...00" ó "...10", por lo que "k+1" tendrá terminación binaria "...01" ó "...11" respectivamente o lo que es equivalente, tendrá un uno (1) mas en su representación binaria lo que en símbolos se representa: $TEX: \[\psi (k)_{2}+1=\psi (k+1)_{2}\]$ Veremos que la formula a demostrar es efectivamente una verdad, usando induccion: Para el caso n=1: $TEX: \[\psi (1)_{2}=1-v_{2}(1!)=1-0=1\]$ una verdad, luego para n=k+1 (tesis) suponiendo como hipotesis inductiva a la formula en n=k, tenemos: $TEX: \[\psi(k+1)_{2}=k+1-v_{2}((k+1)!)=k+1-v_{2}(k!\cdot (k+1))=k+1-(v_{2}(k!)+v_{2}(k+1))\]$ Este último paso es por propiedades de potencias, tener presente en el próximo paso que k+1 es impar, continuando: $TEX: \[k+1-(v_{2}(k!)+v_{2}(k+1))=k+1-v_{2}(k!)+0=k-v_{2}(k!)+1=\psi(k)_{2}+1\]$ Llegando a lo que queriamos por tesis inductiva: Caso 2: "k" es impar, para este caso debemos hacer lo mismo del caso 1 pero a la inversa, dado que "k+1" ahora es par, es decir, la terminación binaria de "k" será "...01" ó "...11" y la terminación binaria de "k-1" será "...00" ó "...10" respectivamente, entonces de forma análoga al caso 1 llegamos a que el supuesto es una verdad, por tanto para "n" natural: $TEX: \[n-v_{2}(n!)=\psi(n)_{2}\]$ ¿Cuál será la formula de $TEX: \[\psi(n)_{k}\]$ representando el numero de 1's o 2's o ... que aparecen al escribir n en base k? Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 28 2012, 12:05 AM

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 11:44 PM Publicado: #188
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solución correcta!!, te toca proponer aleabrahamramirez! Mensaje modificado por Heiricar el Sep 27 2012, 11:59 PM

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 11:57 PM Publicado: #189
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Probar que $TEX: \[1^{1999}+2^{1999}+3^{1999}\]$ es divisible por 11

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2012, 12:11 AM Publicado: #190
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Por El Pequeño Teorema de Fermat obtenemos que: $TEX: $\displaystyle 2^{10}\equiv 1 mod11$$ $TEX: $\displaystyle 3^{10}\equiv 1mod11$$ Esto nos lleva a que $TEX: $\displaystyle 2^{2000}\equiv 1 mod 11$$ y $TEX: $\displaystyle 3^{2000}\equiv 1mod11$$ , esto implica que $TEX: $\displaystyle 2\cdot 2^{1999}\equiv 1 mod11\Rightarrow 2\cdot 6\cdot 2^{1999}\equiv 6mod11\Rightarrow 2^{1999}\equiv 6mod11$$ y también $TEX: $\displaystyle 3\cdot 3^{1999}\equiv 1mod11\Rightarrow 3\cdot 4\cdot 3^{1999}\equiv 4mod11\Rightarrow 3^{1999}\equiv 4mod11$$ , en consecuencia $TEX: $\displaystyle 1^{1999}+2^{1999}+3^{1999}\equiv 1+6+4\equiv 11\equiv 0mod11$$ , osea que $TEX: $\displaystyle 11\|1^{1999}+2^{1999}+3^{1999}$$ , que era lo que queriamos demostrar $TEX: $\displaystyle \blacksquare $$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Sep 28 2012, 12:34 AM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

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