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[Maratón] Teoría de Números

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 09:40 PM Publicado: #171
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: $q$ tiene que ser impar y positivo. Busquemos soluciones suponiendo que $p$ es impar. En este caso, de $2^{m}p^{2} = (q-1)(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)$ se tendría que $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1\in \{1, p, p^{2}\}.$ La opción $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=1$ se descarta fácilmente. La opción $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=p$ implica que $(q-1)=2^{m}p$. La ecuación original sería equivalente entonces a $2^{m}p^{2}+1 = (2^{m}p+1)^{5}$, imposible. La opción restante da lugar a la solución $(1, 11, 3).$ Busquemos ahora soluciones suponiendo que $p= 2$. En este caso, la ecuación original deviene en $4\cdot 2^{m} = (q-1)(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1).$ Como lo que está en el lado izquierdo es una potencia positiva de $2$ y $(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)$ es impar y positivo, entonces la única posibilidad es que $(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)=1$. Puesto que tal ecuación no tiene solucion en primos, concluimos que no hay solución cuando se supone que $p=2$. Así, la única solución a la ecuación original es $(1, 11, 3).$$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 09:54 PM Publicado: #172
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	coquitao propón.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 09:56 PM Publicado: #173
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El caso $TEX: $p=2$$ lo podemos descartar pues $TEX: $v_2(q^5-1)=v_2(q-1)$$ y entonces $TEX: $q^4+q^3+q^2+q+1=1$$ lo que es absurdo. Podemos factorizar $TEX: $2^mp^2=q^5-1=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$$ , supongamos que $TEX: $p\not=5$$ . Luego si $TEX: $2^s\mid q-1$$ con $TEX: $s>0$$ tenemos que $TEX: $q^4+q^3+q^2+q+1\equiv 1+1+1+1+1\equiv 5\mod 2^s$$ Luego $TEX: $s=m$$ , además si $TEX: $p\mid q-1$$ se tiene $TEX: $2=v_p(q^5-1)=v_p(q-1)$$ entonces $TEX: $q-1=2^mp^2$$ lo que no puede ser, entonces $TEX: $2\nmid q-1$$ y así $TEX: $q=2$$ . Tenemos la ecuación $TEX: $2^mp^2=31$$ que no tiene solución, luego $TEX: $p\nmid q-1$$ y tenemos que $TEX: $q-1=2^m$ y $q^4+q^3+q^2+q+1=p^2$$ . Para que q sea primo m debe ser una potencia de 2, supongamos que $TEX: $m=2^t$$ con t>1, entonces $TEX: $$() p^2\equiv q^4-1+q^3-1+q^2-1+q-1+5\equiv 5\mod q-1$$$ y así $TEX: $p^2\equiv 5\mod 8$$ lo que es imposible, los casos restantes nos dan la solución (1,11,3). Si $TEX: $p=5$$ , notemos que $TEX: $2=v_5(q-1)+1$$ y así $TEX: $q-1=2^s5$$ , $TEX: $q^4+q^3+q^2+q+1=2^t5$$ con $TEX: $t>s$$ . De esta forma tenemos que $TEX: $q-1\mid q^4+q^3+q^2+q+1$$ , pero por () $TEX: $q=2$$ que no puede ser. Las soluciones sólo es (1,11,3). Mensaje modificado por snw el Sep 18 2012, 10:00 PM -------------------- blep

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 09:57 PM Publicado: #174
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me demoré demasiado tipeando :@, pero la solución de coquitao esta muy bcn -------------------- blep

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 10:00 PM Publicado: #175
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	De hecho, acabo de caer en la cuenta que 12321 no puso como hipótesis que p y q eran positivos. Es claro que q tiene que ser positivo, pero si permitimos primos negativos, (1, -11, 3) también es solución. ¿Qué hacemos 12321? Restaría analizar si esa es la única solución con p negativo. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 10:00 PM Publicado: #176
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Sep 18 2012, 10:00 PM) De hecho, acabo de caer en la cuenta que12321 no mencionó que p y q eran positivos. Es claro que q tiene que ser positivo, pero si permitimos primos negativos, (1, -11, 3) es solución. ¿Qué hacemos 12321? la def tradicional de primos nomas tu sol es correcta propón porfa

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 10:37 PM Publicado: #177
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(coquitao @ Sep 18 2012, 07:40 PM) $TEX: $q$ tiene que ser impar y positivo. Busquemos soluciones suponiendo que $p$ es impar. En este caso, de $2^{m}p^{2} = (q-1)(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)$ se tendría que $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1\in \{1, p, p^{2}\}.$ La opción $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=1$ se descarta fácilmente. La opción $q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1=p$ implica que $p$ es \textbf{positivo} y que $(q-1)=2^{m}p$. La ecuación original sería equivalente entonces a $2^{m}p^{2}+1 = (2^{m}p+1)^{5}$, imposible. La opción restante da lugar a las soluciones $(1, \pm 11, 3).$ Busquemos ahora soluciones suponiendo que $p= \pm 2$. En este caso, la ecuación original deviene en $4\cdot 2^{m} = (q-1)(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1).$ Como lo que está en el lado izquierdo es una potencia positiva de $2$ y $(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)$ es impar y positivo, entonces la única posibilidad es que $(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)=1$. Puesto que tal ecuación no tiene solucion en primos, concluimos que no hay solución cuando se supone que $p$ es par. Así, las únicas soluciones a la ecuación son $(1, \pm 11, 3).$$ Voilà! -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 24 2012, 05:22 PM Publicado: #178
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	OK. Para reiniciar esto rápido, propongo el siguiente: $TEX: ... Uno de los integrantes del trío de la ilustración cumplía años. Ello despertó la curiosidad de Tommy [ángulo inferior derecho] con referencia a sus respectivas edades, y en respuesta a sus preguntas, el padre le dijo: \emph{Bien, Tommy, nuestras tres edades suman setenta años. Como yo soy seis veces más viejo de lo que tú eres ahora, puede decirse que cuando sea el doble de viejo que tú, nuestras tres edades sumarán el doble de lo que suman ahora. Bien, déjame ver si puedes decirme la edad de tu madre.} Tommy, que era brillante con los números, resolvió rápidamente el problema, pero tenía la ventaja de saber su propia edad y podía adivinar con bastante certeza la edad de los otros. [Ustedes], sin embargo, sólo dispondrán de los datos acerca de las edades comparativas de padre e hijo, y de la sorprendente pregunta: ¿Qué edad tiene la madre?.$ Archivo(s) Adjunto(s) 085.jpg ( 34.89k ) Número de descargas: 5 -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 04:22 PM Publicado: #179
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Es el primer propuesto de coquitao que respondo El enunciado nos dice: (1): $TEX: \[m+p+t=70\]$ (2): $TEX: \[p=6t\]$ (3): $TEX: \[2(t+x)=p+x\]$ (4): $TEX: \[m+x+p+x+t+x=140\]$ Donde m es edad madre, p edad padre, t edad Tommy y x representa un tiempo tal que cumple con las ecuaciones anteriores. De (1): $TEX: \[m=70-(p+t)\]$ con (2) la (1) queda (5): $TEX: \[m=70-(p+t)=70-7t\]$ De (4) teniendo presente a (1) nos da: $TEX: \[x=\frac{70}{3}\]$ En (3) teniendo presente a (2) nos queda: $TEX: \[2t+2x=p+x\Leftrightarrow 2t+x=6t\Leftrightarrow x=4t\]$ usando aquí el valor de x, tenemos: $TEX: \[t=\frac{70}{3\cdot 4}\]$ usando esto en (5): $TEX: \[m=70-7t=70-\frac{7\cdot 70}{3\cdot 4}\]$ Entonces la edad de la madre es 29,16666... ó 29 años y 2 meses. (Suponiendo que el año esta compuesto de 12 meses de igual cantidad de días)

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2012, 07:34 PM Publicado: #180
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Bien, aleabraham... Propones ahora. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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