[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2012, 08:22 PM Publicado: #161
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Correcto, esa es la solución más simple (partiendo de lo ya demostrado), propones

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2012, 10:05 PM Publicado: #162
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	... Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 02:33 PM

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2012, 11:23 PM Publicado: #163
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	(disculpen) Mensaje modificado por El Geek el Sep 17 2012, 11:30 PM -------------------- Me voy, me jui.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2012, 11:28 PM Publicado: #164
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	menos mal te diste cuenta :B Mensaje modificado por Kaissa el Sep 17 2012, 11:29 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 01:02 AM Publicado: #165
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Por MA-MG $TEX: $$1+\frac{ab+bc+ac}{3abc}=\frac{1+\frac{1}{a}+1+\frac{1}{b}+1+\frac{1}{c}}{3}\ge \sqrt[3]{2}$$$ Sin perder generalidad supongamos que $TEX: $a\ge b\ge c> 1$$ , de esta forma $TEX: $$3ab\ge ab+bc+ac\ge 3abc(\sqrt[3]{2}-1)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}\ge c$$$ Como $TEX: $(1+0.25)^3<2$$ , entonces $TEX: $c\le 3$$ y tenemos que $TEX: $c\in\{2,3\}$$ . Si $TEX: $c=2$$ se tiene que $TEX: $(a+1)(b+1)3=4ab$$ y factorizando tenemos que $TEX: $(a-3)(b-3)=12$$ . Resolviendo obtenemos las soluciones $TEX: $(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2)$$ y sus permutaciones. Si $TEX: $c=3$$ obtenemos la ecuación $TEX: $(a+1)(b+1)2=3ab$$ que desarrollando nos entrega $TEX: $(a-2)(b-2)=6$$ cuyas soluciones son $TEX: $(8,3,3),(5,4,3)$$ y sus permutaciones. Mensaje modificado por snw el Sep 18 2012, 01:20 AM -------------------- blep

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 02:57 PM Publicado: #166
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	... Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 02:32 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 04:54 PM Publicado: #167
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dedicado a Varguitas $TEX: \textbf{Problema:} Sea $p$ un primo. Cuántos conjuntos $A\subseteq\{1,2,\dots,p\}$ verifican que $p\mid\sum_{a\in A}a$.$ -------------------- blep

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 07:14 PM Publicado: #168
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	CITA(snw @ Sep 18 2012, 04:54 PM) Dedicado a Varguitas $TEX: \textbf{Problema:} Sea $p$ un primo. Cuántos conjuntos $A\subseteq\{1,2,\dots,p\}$ verifican que $p\mid\sum_{a\in A}a$.$ Consideraremos que el enunciado no especifica como invalido el conjunto vació y le daremos suma $TEX: $0$$ a este. Lema 1: Si $TEX: $a$$ es coprimo con $TEX: $p$$ y $TEX: $A=\{1,...,p\}$$ , entonces $TEX: $aA$$ es un resto completo. (Propuesto al lector) Lema 2: Si $TEX: $w,...,w^p$$ son las $TEX: $p$$ raices de $TEX: $z^p=1$$ , entonces $TEX: $w+...+w^p=0$$ . (Propuesto al lector) Sea $TEX: $p(x)=\prod_{k=1}^{p} (1+x^k)=\sum_{r=0}^{\frac{p(p+1)}{2}} c_rx^r$$ y asi $TEX: $c_r$$ es la cantidad de subconjuntos con suma $TEX: $r$$ . Consideremos $TEX: $w=e^{\frac{2 \pi i}{p}}$$ y asi $TEX: $w,...,w^p$$ son las $TEX: $p$$ raices de $TEX: $z^p=1$$ . En virtud del Lema 1 $TEX: $2=p(w)=p(w^2)=...=p(w^{p-1})$$ , sea $TEX: $s_i$$ la suma de los coeficientes $TEX: $c_r$$ con $TEX: $r \equiv_p i$$ , entonces $TEX: $p(w^i)=s_0+s_1w^i+...+s_{p-1}w^{(p-1)i}$$ (el objetivo es obtener $TEX: $s_0$$ ) y asi sumando sobre $TEX: $i$$ tenemos $TEX: $ps_0+(s_1+...+s_{p-1})(1+w+...+w^{p-1})=2^p+(p-1)p(w)$$ , entonces usando el Lema 2 $TEX: $s_0=\frac{2^p+2p-2}{p}$$ . Mensaje modificado por 12321 el Sep 18 2012, 07:16 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 07:39 PM Publicado: #169
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto, propone cristobal. Para que cualquier lector entienda algunos pasos $TEX: $p(1)=2^p$$ $TEX: $$p(w^i)=\prod_{k=1}^p(x+w^{ki})=\prod_{k=1}(1+w^k)=p(w)$$<br />$ Por el lema 1. Si consideramos $TEX: $g(x)=x^p-1=(x-w)(x-w^2)\dots (x-w^p)$$ entonces $TEX: $-2=g(-1)=(-1)^p\prod_{i=1}^p(1+w^i)$$ y así $TEX: $2=-g(-1)=p(w)$$ . Luego $TEX: $ps_0=p(1)+\sum_{i=1}^{p-1}p(w^i)=p(1)+(p-1)p(w)=2^p+2(p-1)$$ Mensaje modificado por snw el Sep 18 2012, 07:47 PM -------------------- blep

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2012, 07:49 PM Publicado: #170
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $\textbf{Problema:}$ Encuentre todas las tripletas $(m,p,q)$ donde $m$ es un entero positvo y $p,q$ primos tales que $2^m p^2+1=q^5$$ Mensaje modificado por 12321 el Sep 18 2012, 07:52 PM

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