[Maratón] Teoría de Números Opciones

[aleabrahamramire...]

Debo confesar que desde un principio mi intención era ver que decían al colocar otro tipo de ejercicios (un pequeño experimento que espero no haya producido molestias), ahora sé, y por otro lado, la solución del LINK va por buen camino, pero hay un error en la primera línea, al restar 2 en vez de 1, el resultado final es (no abrir si no se quiere ver solución)

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Creo que propone JerezDiego.

Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 13 2012, 05:54 PM

[aleabrahamramire...]

Para no parar la TN que creo que pare , un problema:

Si el resto de las divisiones de 1059, 1417 y 2312 entre el entero "d", mayor que 1, es siempre el mismo, calcula d.

[Heiricar]

Para no parar la TN que creo que pare , un problema:

Si el resto de las divisiones de 1059, 1417 y 2312 entre el entero "d", mayor que 1, es siempre el mismo, calcula d.

Solución

Tenemos que 1059, 1417 y 2312 son congruentes modulo d, luego d divide a 1417-1059=358=179x2, también a 2312-1417=895=179x5 y a 2312-1059=1253=179x7, luego d es 179, ya que es el único entero mayor que 1 que divide simultáneamente a 179x2, 179x5 y 179x7 (note que 179 es primo)

Mensaje modificado por Heiricar el Sep 17 2012, 12:16 AM

[aleabrahamramire...]

Correcto ambos, propone heinricar.

Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 17 2012, 01:24 AM

[El Geek]

Hola

Sean , y los respectivos cuocientes. Tenemos , , y , con . Sumando 358 a la primera ecuación, tenemos . Igualamos, y obtenemos , pero . Ahora bien, pues, el resto de dividir 2312 sería cero, y los demás 1. Luego

PD: heiricar, ya nos veremos el jueves... callejón oscuro.

Mensaje modificado por El Geek el Sep 17 2012, 12:29 AM

[Heiricar]

Aquí va el problema

Problema: Pruebe que entre 10 números consecutivos siempre uno de ellos es primo relativo con los otros 9

[aleabrahamramire...]

Definimos el conjunto , con n entero positivo

Primero observar que en este conjunto hay números no coprimos, ya que pueden ser divisibles por 2,3,5 ó 7, luego, de estos 10 números 5 son pares, por tanto, 5 números no coprimos, de los otros 5 candidatos a ser coprimos, para que efectivamente lo sean, no deben ser ni divisibles por 3, 5 y 7 , de estos, solo 2 como máximo pueden ser divisores de 7, por tanto de los 5 números impares, 4 de ellos son divisores de 3 ó 5 ó 7, siendo junto con los 5 números pares, no coprimos, por lo tanto, el numero impar no divisible por 3, 5 y 7, será el único primo relativo con los otros 9 números de

(El cuadrado negro le da el "toque")

Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 17 2012, 01:59 AM

[Heiricar]

Definimos el conjunto , con n entero positivo

Primero observar que en este conjunto hay números no coprimos, ya que pueden ser divisibles por 2,3,5 ó 7, luego, de estos 10 números 5 son pares, por tanto, 5 números no coprimos, de los otros 5 candidatos a ser coprimos, para que efectivamente lo sean, no deben ser ni divisibles por 3, 5 y 7 , de estos, solo 2 como máximo pueden ser divisores de 7, por tanto de los 5 números impares, 4 de ellos son divisores de 3 ó 5 ó 7, siendo junto con los 5 números pares, no coprimos, por lo tanto, el numero impar no divisible por 3, 5 y 7, será el único primo relativo con los otros 9 números de

(El cuadrado negro le da el "toque")

Supongo que cuando dices "de estos, solo 2 como máximo pueden ser divisores de 7" te refieres a divisores de 3 (ya que como máximo, al igual que con 5, solo uno puede dividir a 7 por un tema de paridad, de ahí que de los 5 postulantes a coprimo como máximo 4 de ellos no sirven y siempre habrá uno que sirva), pero se entiende la idea de la solución

Te toca proponer

[aleabrahamramire...]

Supongo que cuando dices "de estos, solo 2 como máximo pueden ser divisores de 7" te refieres a divisores de 3 (ya que como máximo, al igual que con 5, solo uno puede dividir a 7 por un tema de paridad, de ahí que de los 5 postulantes a coprimo como máximo 4 de ellos no sirven y siempre habrá uno que sirva), pero se entiende la idea de la solución

Te toca proponer

Toda la razón, me equivoque al traspasar la solución a escrito, primero la escribo en una hoja y después al computador, y ahí se me corrió el ojo.

Problema: Demostrar que es divisible por 13. (Típico problema de variadas soluciones)

[Crimeeee]

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Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 02:33 PM