[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 06:20 PM Publicado: #141
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	No estoy seguro si este bien pero esto hice: Primero notar que si $TEX: \[u,v\]$ son primos, entonces, $TEX: \[uv\]$ (el producto) se puede expresar como $TEX: \[1\cdot a\]$ , con $TEX: \[a=uv\]$ , sabemos que el problema pedido (lo que se pide demostrar) para $TEX: \[A_{m=1}=\left \{ 1,2,3 \right \}\]$ es cierto, por tanto para $TEX: \[m> 1\]$ , el problema queda resuelto para $TEX: \[u\]$ y $TEX: \[v\]$ primos. Por tanto podemos expresar $TEX: \[u\]$ y $TEX: \[v\]$ de la siguiente forma: $TEX: \[u=pq\]$ y $TEX: \[v=hi\]$ , con $TEX: \[p,q,h,i\in \mathbb{N}\]$ , (no necesariamente números primos) Supongamos que $TEX: \[uv=ab\]$ ; con $TEX: \[a,b \in A_{m}\]$ , entonces, sin perdida de generalidad podemos decir que $TEX: \[a=pi\]$ y $TEX: \[b=qh\]$ para que la suposición sea cierta, se debe cumplir que: $TEX: \[m^2\leq a< (m+1)^2\]$ y $TEX: \[m^2\leq b< (m+1)^2\]$ Sabemos que $TEX: \[uv=ab\]$ $TEX: \[\Rightarrow a=\frac{uv}{b}\]$ y $TEX: \[b=\frac{uv}{a}\]$ $TEX: \[\Rightarrow \]$ $TEX: \[m^2\leq \frac{uv}{b}\Leftrightarrow m^2b\leq uv\]$ $TEX: \[\therefore m^2b< (m+1)^2 \Rightarrow b< (\frac{m+1}{m})^2=(1+\frac{1}{m})^2\leq 4\]$ Esto puede ser cierto para $TEX: \[m=1\]$ , pero para $TEX: \[m=1\]$ , la suposición inicial queda invalidada, por tanto se llega a una contradicción, análogo para $TEX: \[a,a< 4\]$ , por tanto queda demostrado el problema inicial (si obviamente no me equivoco)

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 07:47 PM Publicado: #142
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(aleabrahamramirez @ Sep 9 2012, 06:20 PM) No estoy seguro si este bien pero esto hice: Primero notar que si $TEX: \[u,v\]$ son primos, entonces, $TEX: \[uv\]$ (el producto) se puede expresar como $TEX: \[1\cdot a\]$ , con $TEX: \[a=uv\]$ , sabemos que el problema pedido (lo que se pide demostrar) para $TEX: \[A_{m=1}=\left \{ 1,2,3 \right \}\]$ es cierto, por tanto para $TEX: \[m> 1\]$ , el problema queda resuelto para $TEX: \[u\]$ y $TEX: \[v\]$ primos. Por tanto podemos expresar $TEX: \[u\]$ y $TEX: \[v\]$ de la siguiente forma: $TEX: \[u=pq\]$ y $TEX: \[v=hi\]$ , con $TEX: \[p,q,h,i\in \mathbb{N}\]$ , (no necesariamente números primos) Supongamos que $TEX: \[uv=ab\]$ ; con $TEX: \[a,b \in A_{m}\]$ , entonces, sin perdida de generalidad podemos decir que $TEX: \[a=pi\]$ y $TEX: \[b=qh\]$ para que la suposición sea cierta, se debe cumplir que: $TEX: \[m^2\leq a< (m+1)^2\]$ y $TEX: \[m^2\leq b< (m+1)^2\]$ Sabemos que $TEX: \[uv=ab\]$ $TEX: \[\Rightarrow a=\frac{uv}{b}\]$ y $TEX: \[b=\frac{uv}{a}\]$ $TEX: \[\Rightarrow \]$ $TEX: \[m^2\leq \frac{uv}{b}\Leftrightarrow m^2b\leq uv\]$ $TEX: \[\therefore m^2b< (m+1)^2 \Rightarrow b< (\frac{m+1}{m})^2=(1+\frac{1}{m})^2\leq 4\]$ Esto puede ser cierto para $TEX: \[m=1\]$ , pero para $TEX: \[m=1\]$ , la suposición inicial queda invalidada, por tanto se llega a una contradicción, análogo para $TEX: \[a,a< 4\]$ , por tanto queda demostrado el problema inicial (si obviamente no me equivoco) Está claro que $TEX: $u$$ , $TEX: $v$$ no pueden ser primos. El error está más abajo. Como $TEX: $a \in A_m$$ y $TEX: $uv=ab$$ , tienes $TEX: $a=\frac{uv}{b}$$ , por lo que $TEX: $m^2<\frac{uv}{b}< (m+1)^2$$ , pero luego tomas solo el lado izquierdo y obtienes $TEX: $bm^2<uv$$ , para luego afirmar que $TEX: $bm^2<(m+1)^2$$ , lo que es incorrecto, pues te has olvidado del lado derecho. Si multiplicas por $TEX: $b$$ tienes que $TEX: $bm^2 \le uv<b(m+1)^2$$ , luego al comparar los extremos llegas a $TEX: $bm^2\le b(m+1)^2$$ , y descubriste américa por Facebook. -------------------- Me voy, me jui.

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 08:29 PM Publicado: #143
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	CITA(El Geek @ Sep 9 2012, 08:47 PM) Está claro que $TEX: $u$$ , $TEX: $v$$ no pueden ser primos. El error está más abajo. Como $TEX: $a \in A_m$$ y $TEX: $uv=ab$$ , tienes $TEX: $a=\frac{uv}{b}$$ , por lo que $TEX: $m^2<\frac{uv}{b}< (m+1)^2$$ , pero luego tomas solo el lado izquierdo y obtienes $TEX: $bm^2<uv$$ , para luego afirmar que $TEX: $bm^2<(m+1)^2$$ , lo que es incorrecto, pues te has olvidado del lado derecho. Si multiplicas por $TEX: $b$$ tienes que $TEX: $bm^2 \le uv<b(m+1)^2$$ , luego al comparar los extremos llegas a $TEX: $bm^2\le b(m+1)^2$$ , y descubriste américa por Facebook. Para nunca mas, gracias Ahora si (espero): Si elegimos multiplicar los números extremos del conjunto $TEX: \[A_{m}\]$ , es decir, $TEX: \[m^2((m+1)^2-1)\]$ , nos daremos cuenta de que para expresar este producto como un nuevo producto de números enteros positivos, uno de los números deberá aumentar, mientras que el otro debe disminuir, por tanto , estos nuevos números no pertenecerán al conjunto $TEX: \[A_{m}\]$ , nos daremos cuenta de que esto sucede para todos los números que pertenezcan a este conjunto, Veamos que $TEX: \[A_{m}=\left \{ m^2,m^2+1,m^2+2,...,(m+1)^2-1 \right \}\]$ , sea $TEX: \[u=m^2+a\]$ y $TEX: \[v=m^2+b\]$ $TEX: \[\Rightarrow \]$ $TEX: \[(m^2+a)(m^2+b)= \frac{(m^2+a)}{2}(2(m^2+b))=u_{2}v_{2}\]$ Ésta descomposición que sería la menor posible, en el sentido de "empequeñecer" a uno de los factores, sin importar si se obtienen números enteros (después se compensa esta suposición) , debe cumplir con lo siguiente: $TEX: \[m^2\leq \frac{1}{2}(m^2+a)< (m+1)^2\]$ $TEX: \[\rightarrow (1): m^2\leq a< m^2+4m+2\]$ Y por otro lado: $TEX: \[m^2\leq m^2+a< (m+1)^2\rightarrow (2): 0\leq a< 2m+1\]$ Pero para cumplir con (1) y (2), $TEX: \[m\leq 1\]$ , pero sabemos que para $TEX: \[m\leq 1\]$ , lo que se pide demostrar esta probado, por lo tanto si a lo mínimo que se ha "empequeñecido" a uno de los factores, es imposible que "empequeñeciendo" aun mas a uno de los factores (lo que provoca el aumento del otro factor), éstos pertenezcan a $TEX: \[A_{m}\]$ Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 9 2012, 09:50 PM

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2012, 08:51 PM Publicado: #144
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	El Geek ¿Estas ahí? Si elegimos multiplicar los números extremos del conjunto $TEX: \[A_{m}\]$ , es decir, $TEX: \[m^2((m+1)^2-1)\]$ , nos daremos cuenta de que para expresar este producto como un nuevo producto de números enteros positivos, uno de los números deberá aumentar, mientras que el otro debe disminuir, por tanto , estos nuevos números no pertenecerán al conjunto $TEX: \[A_{m}\]$ , nos daremos cuenta de que esto sucede para todos los números que pertenezcan a este conjunto, Veamos que $TEX: \[A_{m}=\left \{ m^2,m^2+1,m^2+2,...,(m+1)^2-1 \right \}\]$ , sea $TEX: \[u=m^2+a\]$ y $TEX: \[v=m^2+b\]$ $TEX: \[\Rightarrow \]$ $TEX: \[(m^2+a)(m^2+b)= \frac{(m^2+a)}{2}(2(m^2+b))=u_{2}v_{2}\]$ Ésta descomposición que sería la menor posible, en el sentido de "empequeñecer" a uno de los factores, sin importar si se obtienen números enteros (después se compensa esta suposición) , debe cumplir con lo siguiente: $TEX: \[m^2\leq \frac{1}{2}(m^2+a)< (m+1)^2\]$ $TEX: \[\rightarrow (1): m^2\leq a< m^2+4m+2\]$ Y por otro lado: $TEX: \[m^2\leq m^2+a< (m+1)^2\rightarrow (2): 0\leq a< 2m+1\]$ Pero para cumplir con (1) y (2), $TEX: \[m\leq 1\]$ , pero sabemos que para $TEX: \[m\leq 1\]$ , lo que se pide demostrar esta probado, por lo tanto si a lo mínimo que se ha "empequeñecido" a uno de los factores, es imposible que "empequeñeciendo" aun mas a uno de los factores (lo que provoca el aumento del otro factor), éstos pertenezcan a $TEX: \[A_{m}\]$ Mensaje modificado por aleabrahamramirez el Sep 10 2012, 08:52 PM

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2012, 09:21 PM Publicado: #145
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El último sistema tiene como solución también a $TEX: $m=2$$ y $TEX: $a=4$$ , por lo que $TEX: $m\leq 2$$ . Se entiende la idea, pues para $TEX: $m>2$$ , si $TEX: $u,v \in A_{m}$$ , entonces $TEX: $\displaystyle\frac{u}{k}$$ y $TEX: $vk$$ , $TEX: $ k$$ natural, no pueden estar $TEX: $A_{m}$$ , de ahí que no existan $TEX: $a,b$$ tales que $TEX: $ab=uv$$ . Te toca proponer. Mensaje modificado por El Geek el Sep 10 2012, 09:50 PM -------------------- Me voy, me jui.

aleabrahamramire... aleabrahamramirez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2012, 09:57 PM Publicado: #146
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 206 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.389	Después de varios , gracias por las correcciones y como dicen, de los errores se aprende mas que de los aciertos, aquí un problema: Sean $TEX: \[a,b,c\]$ números reales tales que: $TEX: \[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\]$ Calcule el valor de: $TEX: \[(1+\frac{b}{a}-\frac{c}{a})(1+\frac{a}{c}-\frac{b}{c})(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b})\]$

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2012, 12:16 PM Publicado: #147
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	¿No es de teoría de números la maratón? -------------------- Gavier Zómej Hola

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2012, 02:12 PM Publicado: #149
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Como me han llamado sugiero esto: - que se cuelgue a coquitao (no del cuello) xD hablando en serio... si la maratón es de TN, propongan teoría de números. De lo contrario se aburrirá la gente que está aportando pedazos de soluciones. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

JerezDiego Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2012, 02:19 PM Publicado: #150
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 24-September 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 77.585 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(aleabrahamramirez @ Sep 10 2012, 09:57 PM) Después de varios , gracias por las correcciones y como dicen, de los errores se aprende mas que de los aciertos, aquí un problema: Sean $TEX: \[a,b,c\]$ números reales tales que: $TEX: \[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\]$ Calcule el valor de: $TEX: \[(1+\frac{b}{a}-\frac{c}{a})(1+\frac{a}{c}-\frac{b}{c})(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b})\]$ LINK saludos! -------------------- EDV \| Universidad de Chile - Matemática II, sección I - 2011 Mis amigos Quiero ser así cuando grande

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