[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2012, 02:27 PM Publicado: #131
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema $TEX: Si $a$ es un entero positivo múltiplo de 4, demostrar que las soluciones enteras $(x,y)$ de la ecuación $\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}=\sqrt[]{a}$ están dadas por los pares:$ $TEX: $\varepsilon(a)\left (z+\sqrt{\dfrac{a}{4\cdot\varepsilon (a)}} \right )^{2}$, $\varepsilon(a)\left (z-\sqrt{\dfrac{a}{4\cdot\varepsilon (a)}} \right )^{2}$$ $TEX: donde $\varepsilon (a)$ representa la multiplicatoria de todos los numeros primos que tienen exponente impar en la factorización prima de $a$ (si $a$ es cuadrado perfecto $\varepsilon (a)=1$), y $z$ es un numero entero tal que $z\epsilon \left [ 0,\sqrt{\dfrac{a-4}{4 \cdot\varepsilon(a) }} \right ]$.$ -------------------- Gavier Zómej Hola

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2012, 04:28 PM Publicado: #132
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	¿Tengo que postear un hint ahora o no? -------------------- Gavier Zómej Hola

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2012, 04:38 PM Publicado: #133
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si, ya pasaron 24 horas --------------------

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2012, 04:58 PM Publicado: #134
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	HINT: $TEX: Como $x+y+2\sqrt{xy}=a$ luego si $x+y=p$, donde p es un entero, entonces $2\sqrt{xy}=a-p$, ver que valores puede tomar $p$.$ -------------------- Gavier Zómej Hola

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2012, 01:09 PM Publicado: #135
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya pasaron varios días, y nadie lo ha resuelto, propongo que, valga la redundancia, o des otro hint (pierde la gracia), o propongas otro problema y la Maratón siga con ese problema. --------------------

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2012, 09:21 PM Publicado: #136
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya posteo otro supongo. En todo caso el problema que postee no lo saqué de ningún libro ni competencia , es original, y la verdad yo no sé mucho de teoría de números, así que de verdad no es difícil. Si quieren posteo mi solución. Aquí va otro problema: Nuevo problema: $TEX: Sea $\mu (n)$, donde $n$ es un natural, el máximo valor entero de $p$ tal que $2^{p}$ divide a $n!$. Demostrar que:$ $TEX: $\mu (m\cdot 2^{n})=\mu (m)+m(2^{n}-1)$ para $m,n$ naturales$ Mensaje modificado por Javier Gómez L. el Sep 7 2012, 09:22 PM -------------------- Gavier Zómej Hola

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2012, 11:50 AM Publicado: #137
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola Javier Quizás el problema anterior no sea difícil, pero se ve un poco tedioso, y tal vez por eso nadie se animó a hacerlo. Respecto al nuevo problema, usamos Polignac. $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br />\mu(m \cdot 2^n)=\displaystyle\sum_{k\geq 1}\left\lfloor\displaystyle\frac{m\cdot 2^n}{2^{k}}\right \rfloor &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} m\cdot 2^{n-k}+\displaystyle\sum_{k\geq n+1}\left\lfloor\displaystyle\frac{m}{2^{k-n}}\right\rfloor\\<br />&=& m(2^{n}-1)+ \displaystyle\sum_{k\geq 1}\left\lfloor\displaystyle\frac{m}{2^{k}}\right\rfloor\\<br />&=& m(2^{n}-1)+\mu(m) \blacksquare<br />\end{eqnarray}<br />$ Saludos Mensaje modificado por El Geek el Sep 9 2012, 08:21 PM -------------------- Me voy, me jui.

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 12:03 PM Publicado: #138
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correcta la solución . Te toca proponer entonces. Edit: Conocía la fórmula pero por la fórmula de Legendre sería interesante una solución sin la fórmula, si alguien se anima. Mensaje modificado por Javier Gómez L. el Sep 9 2012, 01:48 PM -------------------- Gavier Zómej Hola

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 02:33 PM Publicado: #139
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Polignac es super intuitivo, solo quise ponerle el nombre para que me creyeran (más de alguna vez he hecho algo y por no poner algún nombre de un teorema me lo cuentan como no válido ) Ahora bien, no tengo problemas macanudos como para el lvl de Pasten o Coquitao, asi que tomé un viejo propuesto de Varguitas que está sin resolver y me pareció interesante. Problema Sea $TEX: $m\in \mathbb{Z}^+$$ . Considere el conjunto: $TEX: $A=\{n\in\mathbb{N}/m^2\leq n<(m+1)^2\}$$ Demuestre que los productos de la forma $TEX: $uv$$ ( $TEX: $u,v\in A$$ ) son todos distintos. Saludos Mensaje modificado por El Geek el Sep 9 2012, 02:37 PM -------------------- Me voy, me jui.

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2012, 04:57 PM Publicado: #140
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se recuerda que las soluciones deben ir en spoiler --------------------

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