[Maratón] Teoría de Números

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Teoría de Números > Problemas Propuestos

23 Páginas:

« < 10 11 12 13 14 > »

[Maratón] Teoría de Números

Opciones

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 26 2012, 12:48 PM Publicado: #111
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Sea m>1 un entero. Muestre que de cierto punto en adelante, la secuencia definida por $TEX: $$a_1=6, \quad a_{n+1}=6^{a_n}$$$ (es decir $TEX: $6, 6^6, 6^{6^6}, \ldots $$ ) es constante modulo m. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2012, 08:45 PM Publicado: #112
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Aug 26 2012, 12:48 PM) Sea m>1 un entero. Muestre que de cierto punto en adelante, la secuencia definida por $TEX: $$a_1=6, \quad a_{n+1}=6^{a_n}$$$ (es decir $TEX: $6, 6^6, 6^{6^6}, \ldots $$ ) es constante modulo m. Una ayudita: Si m es un modulo para el cual esto no funciona, mostrar que hay un modulo m'<m para el cual tampoco funciona (esto lleva a una contradiccion). Como construir ese m'<m ? una ayuda: mirar los exponentes de la secuencia. Salvo el primer termino, es la misma secuencia! -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2012, 10:17 PM Publicado: #113
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Si $m =2$, hay nada que hacer. Supongamos que el resultado es cierto para cada natural menor o igual a $m-1$. Demostremos que en tal caso vale también para $m$.<br /><br />Si $\mathrm{mcd}(6,m)=1$ entonces $\displaystyle 6^{a_{m+1}} = 6^{6^{a_{m}}}\equiv 6^{ 6^{a_{m}} \mathrm{mod} \mbox{ } \phi(m) } \pmod{m}$. Como $\phi(m)<m$, la sucesión de reducciones módulo $\phi(m)$ de $\{6^{a_{n}}\}_{n\in \mathbb{N}}$ es constante de cierto punto en adelante, la sucesión de reducciones módulo $m$ también lo es.<br /><br />Si $\mathrm{mcd}(6,m)=i \in \{2, 3, 6\}$ entonces puesto que la sucesión $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } i\}_{n \in \mathbb{N}}$ es constante y $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } \frac{m}{i}\}_{n \in \mathbb{N}}$ es constante de cierto punto en adelante, entonces $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } m\}_{n \in \mathbb{N}}$ es contante de cierto punto en adelante (esto es cierto básicamente por el teorema chino del resto). <br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2012, 12:32 AM Publicado: #114
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 28 2012, 10:17 PM) $TEX: Si $m=2$, hay nada que hacer. Supongamos que el resultado es cierto para cada natural menor o igual a $m-1$. Demostremos que en tal caso vale también para $m$.<br /><br />Si $\mathrm{mcd}(6,m)=1$ entonces $\displaystyle 6^{a_{m+1}} = 6^{6^{a_{m}}}\equiv 6^{ 6^{a_{m}} \mathrm{mod} \mbox{ } \phi(6) } \pmod{m}$. Como la sucesión de reducciones módulo 2 de $\{6^{a_{n}}\}_{n\in \mathbb{N}}$ es constante, la sucesión de reducciones módulo $m$ también lo es.<br /><br />Si $\mathrm{mcd}(6,m)=i \in \{2, 3, 6\}$ entonces puesto que la sucesión $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } i\}_{n \in \mathbb{N}}$ es constante y $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } \frac{m}{i}\}_{n \in \mathbb{N}}$ es constante de cierto punto en adelante, entonces $\{6^{a_{n}} \mathrm{mod} \mbox{ } m\}_{n \in \mathbb{N}}$ es contante de cierto punto en adelante módulo $m$ (esto es cierto básicamente por el teorema chino del resto). <br />$ En el segundo parrafo me imagino que usas el teorema de Euler. En ese caso, el exponente deberia llevar phi(m), no phi(6). Entonces el argumento de mirar modulo 2=phi(6) no sirve. El argumento en el tercer parrafo esta usando la propiedad para i=2,3,6 como parte de tu paso inductivo (asi el caso modulo m se reduce al caso modulo m/i<m que asumes cierto). Sin embargo, no verificas la propiedad modulo i=3,6 (en el primer parrafo solo mencionas el caso i=2). Esos casos son faciles pero al menos hay que mencionarlos. El punto es que este es un error en la estructura de la demostracion: si uno hace una induccion entonces es necesario verificar el/los casos iniciales necesarios. Por ejemplo, si haces una induccion que requiere dos casos anteriores en el paso inductivo entonces no basta verificar/mencionar el caso inicial, sino que necesitas los dos primeros casos. Seguimos esperando solucion. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2012, 12:39 AM Publicado: #115
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Listo. En sí en el tercer párrafo no ocupo el cumplimiento de la propiedad para i = 2, 3, 6 sino la observación directa que la sucesión es constante en esos módulos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2012, 10:04 AM Publicado: #116
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 29 2012, 12:39 AM) Listo. En sí en el tercer párrafo no ocupo el cumplimiento de la propiedad para i = 2, 3, 6 sino la observación directa que la sucesión es constante en esos módulos. Ok, ahora si. Propones. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2012, 03:29 PM Publicado: #117
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Problema 23. $TEX: Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Demuestre que $\medskip$<br /><br />$\displaystyle \left\{n\in \mathbb{N}: \left(a+\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(b+\frac{1}{2}\right)^{n} \in \mathbb{N} \right\}$ $\medskip$<br /><br />es finito.<br />$ @Pasten: ¿puedes compartir tu solución mediante descenso del problema anterior? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2012, 09:45 PM Publicado: #118
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	La sugerencia después de 24 horas es: INTENTARLO... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2012, 10:34 AM Publicado: #119
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 29 2012, 03:29 PM) @Pasten: ¿puedes compartir tu solución mediante descenso del problema anterior? Basicamente es lo mismo. Para mi, demostrar por induccion, buen orden, o descenso se basa en el mismo principio, solo que en distintos problemas una manera de escribir la demostracion es mas elegante que otras. Sobre tu propuesto, yo puedo conestarlo?, digo, como yo propuse el anterior no se si puedo contestar este. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2012, 11:48 AM Publicado: #120
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya pasaron más de 24 horas, no creo que haya problema, sino se estanca la maratón. Adelante! --------------------

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

23 Páginas:

« < 10 11 12 13 14 > »

2 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (2 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 24th November 2024 - 12:51 AM