[Maratón] Teoría de Números

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[Maratón] Teoría de Números

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Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 01:34 AM Publicado: #101
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	$TEX: <br />\noindent<br />Llamemos $3n+1=k^2\Longrightarrow n=\displaystyle\frac{1}{3}(k+1)(k-1)$. Luego solo uno de los factores es múltiplo de 3. Si llamamos $k+1=3q$, tenemos que $n=q(3q-2)$. Entonces $$n+1=q(3q-2)+1=3q^2-2q+1=q^2+q^2+(q-1)^2$$ En caso de que $k-1$ fuera el múltiplo de 3, se tendría que $n+1=q^2+q^2+(q+1)^2$.<br />En cualquier caso $n$ se escribe como suma de 3 cuadrados perfectos.\\<br /><br />\noindent<br />Obs: si $n=1$, estamos aceptando escribir $2=1^2+1^2+0^2$. De todas formas, la propiedad es válida para $n>1$.<br />\end{document}<br />$ Mensaje modificado por Marchiant Zotelo el Aug 25 2012, 01:45 AM

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 01:45 AM Publicado: #103
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	.,.,., Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 02:37 PM

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 01:52 AM Publicado: #104
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	$TEX: Determine todos los $n \in \mathbb{N}$ tales que $n^5+n^4+1$ es un número primo$

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 12:06 PM Publicado: #105
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Marchiant Zotelo @ Aug 25 2012, 12:52 AM) $TEX: Determine todos los $n \in \mathbb{N}$ tales que $n^5+n^4+1$ es un número primo$ $TEX: Supongamos que $n^{5}+n^{4}+1$ es igual a un número primo. Como $(n^{2}+n+1) \| (n^{5}+n^{4}+1)$ y $n^{2}+n+1>1$ entonces debe ser $n^{2}+n+1 = n^{5}+n^{4}+1$. La ecuación anterior es equivalente a<br /><br />$0=n^{5}+n^{4}-n^{2}-n = n(n-1)(n+1)(n^{2}+n+1).$<br /><br />Por consiguiente, $n=1$ es el único número natural para el que la expresión $n^{5}+n^{4}+1$ resulta ser igual a un número primo.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Marchiant Zotelo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 01:37 PM Publicado: #106
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 28-March 12 Miembro Nº: 103.252	CITA(coquitao @ Aug 25 2012, 01:06 PM) $TEX: Supongamos que $n^{5}+n^{4}+1$ es igual a un número primo. Como $(n^{2}+n+1) \| (n^{5}+n^{4}+1)$ y $n^{2}+n+1>1$ entonces debe ser $n^{2}+n+1 = n^{5}+n^{4}+1$. La ecuación anterior es equivalente a<br /><br />$0=n^{5}+n^{4}-n^{2}-n = n(n-1)(n+1)(n^{2}+n+1).$<br /><br />Por consiguiente, $n=1$ es el único número natural para el que la expresión $n^{5}+n^{4}+1$ resulta ser igual a un número primo.<br />$ Richtig! Puedes proponer el siguiente

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 02:02 PM Publicado: #107
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Problema 21. $TEX: Denotemos con $\mathbf{P}$ al conjunto de los números primos positivos. Si \medskip<br /><br />$\pi(x) := \sum_{p \in \mathbf{P}, p\leq x}1$, $\medskip$<br /><br />demuestre que para cada $k \in \mathbb{N} - \{1\}$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $\medskip$<br /><br />$k \cdot \pi(n)=n.$<br /><br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2012, 02:14 PM Publicado: #108
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(aleabrahamramirez @ Aug 24 2012, 09:47 PM) Uno simple pero de donde se aprenden ciertos detalles de los números: Problema: Supón que "n" es el producto de cuatro enteros positivos consecutivos y que además es múltiplo de 7. ¿Cuál es el mayor entero que puedes asegurar que es un divisor de "n"? Me parece que el problema se podía formular así: $TEX: ¿Cuál es el máximo común divisor de los números del conjunto $\medskip$<br /><br />$\{n(n+1)(n+2)(n+3): n \in \mathbb{N} \mbox{ y } 7\|(n+i) \mbox{ para algún } i \in \{0, 1, 2, 3\} \}$?<br /><br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 26 2012, 01:33 AM Publicado: #109
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Aug 25 2012, 03:02 PM) Problema 21. $TEX: Denotemos con $\mathbf{P}$ al conjunto de los números primos positivos. Si \medskip<br /><br />$\pi(x) := \sum_{p \in \mathbf{P}, p\leq x}1$, $\medskip$<br /><br />demuestre que para cada $k \in \mathbb{N} - \{1\}$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $\medskip$<br /><br />$k \cdot \pi(n)=n.$<br /><br />$ Sea c(n) una funcion de los enteros n>1 en los enteros positivos y que no decrece, o sea, c(n+1) es mayor o igual que c(n) para cada n>0. Supongamos ademas que para cualquier r>1 se cumple que c(n)<n/r para n suficientemente grande; esto lo vamos a llamar condicion (). Sea k>2, y definamos S={n>1 : kc(n)<n}. Como c(n) satisface la condicion () sabemos que S no es vacio, asi que por buen orden existe un menor elemento de S el cual llamamos m. Claramente m>2 porque kc(2)>2 (recordemos que k>2 y c(n) toma valores enteros positivos). Entonces m-1>1; vamos a demostrar que kc(m-1)=m-1. En efecto, si esto fuera falso entonces kc(m-1)>m-1 por minimalidad de m en S, pero en ese caso obtenemos $TEX: $kc(m-1)\ge m>kc(m)$$ donde la segunda desigualdad es porque m esta en S. Esto contradice el hecho que c(n) no decrece, por lo tanto kc(m-1)=m-1. Vamos ahora al problema planteado. Para k=2 es trivial, podemos tomar n=2. Asi que suponemos k>2. Por simplicidad voy a anotar q(n)=pi(n) porque no quiero escribir codigo LaTeX. El problema estaria resuelto si pudieramos tomar c(n)=q(n) asi que hay que verificar las condiciones. Resulta que q(n) da un entero positivo cuando n>1 y ademas no decrece. Solo falta verificar la condicion (*) pero esto viene del hecho conocido que para todo n suficientemente grande se cumple q(n)<An/log n donde A es cierta constante (por ejemplo A=10 sirve). Esta desigualdad es un teorema de Chebychev y basicamente se deduce analizando el coeficiente binomial (2n)!/(n!n!). Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 26 2012, 12:00 PM Publicado: #110
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(Pasten @ Aug 26 2012, 12:33 AM) Sea c(n) una funcion de los enteros n>1 en los enteros positivos y que no decrece, o sea, c(n+1) es mayor o igual que c(n) para cada n>0. Supongamos ademas que para cualquier r>1 se cumple que c(n)<n/r para n suficientemente grande; esto lo vamos a llamar condicion (). Sea k>2, y definamos S={n>1 : kc(n)<n}. Como c(n) satisface la condicion () sabemos que S no es vacio, asi que por buen orden existe un menor elemento de S el cual llamamos m. Claramente m>2 porque kc(2)>2 (recordemos que k>2 y c(n) toma valores enteros positivos). Entonces m-1>1; vamos a demostrar que kc(m-1)=m-1. En efecto, si esto fuera falso entonces kc(m-1)>m-1 por minimalidad de m en S, pero en ese caso obtenemos $TEX: $kc(m-1)\ge m>kc(m)$$ donde la segunda desigualdad es porque m esta en S. Esto contradice el hecho que c(n) no decrece, por lo tanto kc(m-1)=m-1. Vamos ahora al problema planteado. Para k=2 es trivial, podemos tomar n=2. Asi que suponemos k>2. Por simplicidad voy a anotar q(n)=pi(n) porque no quiero escribir codigo LaTeX. El problema estaria resuelto si pudieramos tomar c(n)=q(n) asi que hay que verificar las condiciones. Resulta que q(n) da un entero positivo cuando n>1 y ademas no decrece. Solo falta verificar la condicion () pero esto viene del hecho conocido que para todo n suficientemente grande se cumple q(n)<An/log n donde A es cierta constante (por ejemplo A=10 sirve). Esta desigualdad es un teorema de Chebychev y basicamente se deduce analizando el coeficiente binomial (2n)!/(n!n!). Saludos Excelente como siempre, Pasten. Otra manera de deducir que $TEX: $\pi(n) = o(n)$$ es con Erdös-Kalmar (ver décimo post* de esta discusión). Propones ahora. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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