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[Maratón] Teoría de Números

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2012, 11:55 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(snw @ Aug 16 2012, 10:48 PM) slowpok Warum? Problema 3: $TEX: Sean $m, n$ números enteros tales que $31m^{2}+5n^{2} \equiv 0 \pmod{2011}$. Demuestre que $m \equiv n \equiv 0 \pmod{2011}.$$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Sr Binomio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:01 AM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 409 Registrado: 13-July 12 Desde: Santiago Miembro Nº: 108.957 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Disculpen si mi post aca es indebido o molesta Pero ** los **** Secos la kagaron Eh Aprendido Caleta , Me Encanta leer este tipo De Cosas Asi Aprendo Pequeños trucos y varios Tips Gracias y sigan con su maraton esta muy interezante -------------------- Kaissa Es ICM!

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:19 AM Publicado: #13
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	aparte de la solucion $TEX: $(0,0)$$ está claro que si $TEX: $(m,n)$$ es solución. $TEX: $(-m,n)$$ , $TEX: $(-m,-n)$$ , y $TEX: $(m,-n)$$ también lo son así que basta encontrar el par (m,n) en los naturales sea p(m,n) la proposición para los naturales, sea $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ los menores naturales que satisfacen la proposición entonces hagamos $TEX: $m_0=2011 \cdot t + r$$ y $TEX: $n_0= 2011 \cdot k+q$$ con $TEX: $r,q \in N$$ (suponiendo que 2011 no divide a $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ ) entonces haciendo un trabajo algebraico se concluye que $TEX: $2011\|31r^2+5q^2$$ $TEX: $31m_0^2+5n_0^2=2011 \cdot a<br />\\<br />31(2011\cdot t + r)^2+ 5(2011 \cdot k+q)^2=2011 \cdot a<br />\\ 31\cdot 2011^2\cdot t^2+62\cdot 2011\cdot tr+ 31\cdot r^2 + 5\cdot 2011^2\cdot k^2+10\cdot 2011\cdot kq+ 5\cdot q^2=2011\cdot a$$ lo que contradice la minimidad de $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ Saludos Mensaje modificado por luis_fz el Aug 17 2012, 01:24 AM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:29 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(luis_fz @ Aug 17 2012, 12:19 AM) aparte de la solucion $TEX: $(0,0)$$ está claro que si $TEX: $(m,n)$$ es solución. $TEX: $(-m,n)$$ , $TEX: $(-m,-n)$$ , y $TEX: $(m,-n)$$ también lo son así que basta encontrar el par (m,n) en los naturales sea p(m,n) la proposición para los naturales, sea $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ los menores naturales que satisfacen la proposición entonces hagamos $TEX: $m_0=2011 \cdot t + r$$ y $TEX: $n_0= 2011 \cdot k+q$$ con $TEX: $r,q \in N$$ (suponiendo que 2011 no divide a $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ ) entonces haciendo un trabajo algebraico se concluye que $TEX: $2011\|31r^2+5q^2$$ $TEX: $31m_0^2+5n_0^2=2011 \cdot a<br />\\<br />31(2011\cdot t + r)^2+ 5(2011 \cdot k+q)^2=2011 \cdot a<br />\\ 31\cdot 2011^2\cdot t^2+62\cdot 2011\cdot tr+ 31\cdot r^2 + 5\cdot 2011^2\cdot k^2+10\cdot 2011\cdot kq+ 5\cdot q^2=2011\cdot a$$ lo que contradice la minimidad de $TEX: $m_0$$ y $TEX: $n_0$$ Saludos La negación de m es divisible por 2011 y n es divisible por 2011 es m no es divisible por 2011 ó n no es divisible por 2011. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:32 AM Publicado: #15
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	Como 2011 es primo tenemos $TEX: $m \equiv_{2011} 0 \Leftrightarrow n \equiv_{2011} 0$$ , así que asumamos que ni m ni n son divisibles por 2011 y lleguemos a contradicción. Usemos: CITA Si $TEX: $p$$ es un primo que no divide a $TEX: $a,b,c,x,y$$ y $TEX: $p$$ divide a $TEX: $ax^2+bxy+cy^2$$ entonces $TEX: $b^2-4ac$$ es residuo cuadratico modulo $TEX: $p$$ . La demostración de lo anterior es simplemente $TEX: $ax^2+bxy+cy^2 \equiv_p 0 \Rightarrow b^2-4ac \equiv_p b^2+4cb\frac{y}{x}+4c^2\frac{y^2}{x^2} = (b+2c\frac{y}{x})^2$$ donde no fue ilegal dividir por x gracias a la coprimalidad con p. Asi que $TEX: $-4 \cdot 31 \cdot 5=-620 \equiv_{2011} 1391 $$ debiera ser resto cuadrático, usando el teorema de la reciprocidad cuadrática tenemos $TEX: $(\frac{1391}{2011})=(\frac{13}{2011})(\frac{107}{2011})=-(\frac{9}{13})(\frac{85}{107})=-(\frac{1}{3})^2(\frac{22}{85})$$ $TEX: $=-(\frac{22}{5})(\frac{22}{17})=-(\frac{2}{5})(\frac{5}{17})=(\frac{2}{5})=-1$$ , asi que estamos listos. Mensaje modificado por 12321 el Aug 17 2012, 01:41 AM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:51 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(12321 @ Aug 17 2012, 12:32 AM) Como 2011 es primo tenemos $TEX: $m \equiv_{2011} 0 \Leftrightarrow n \equiv_{2011} 0$$ , así que asumamos que ni m ni n son divisibles por 2011 y lleguemos a contradicción. Usemos: La demostración de lo anterior es simplemente $TEX: $ax^2+bxy+cy^2 \equiv_p 0 \Rightarrow b^2-4ac \equiv_p b^2+4cb\frac{y}{x}+4c^2\frac{y^2}{x^2} = (b+2c\frac{y}{x})^2$$ donde no fue ilegal dividir por x gracias a la coprimalidad con p. Asi que $TEX: $-4 \cdot 31 \cdot 5=-620 \equiv_{2011} 1391 $$ debiera ser resto cuadrático, usando el teorema de la reciprocidad cuadrática tenemos $TEX: $(\frac{1391}{2011})=(\frac{13}{2011})(\frac{107}{2011})=-(\frac{9}{13})(\frac{85}{107})=-(\frac{1}{3})^2(\frac{22}{85})$$ $TEX: $=-(\frac{22}{5})(\frac{22}{17})=-(\frac{2}{5})(\frac{5}{17})=(\frac{2}{5})=-1$$ , asi que estamos listos. ¡Correcto! Te toca proponer. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

12321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 01:55 AM Publicado: #17
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 13-April 12 Miembro Nº: 104.162 Nacionalidad: Sexo:	Sea p primo impar, demuestre que entonces existe un entero positivo k talque kp=x^2+y^2+1 para algunos enteros x,y.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 02:12 AM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Considera los conjuntos $A:=\{0^{2}, 1^{2},\ldots, (p-1)^{2}/4\}$ y $B :=\{-0^{2}-1, -1^{2}-1, \ldots,-(p-1)^{2}/4-1\}.$ Dado que $\|A\|= \|B\| = (p+1)/2$ y que tanto los elementos de $A$ como los elementos de $B$ son incongruentes entre sí módulo $p$, existen $x^{2} \in A$ y $-y^{2}-1 \in B$ tales que $x^{2} \equiv -y^{2}-1 \pmod p$. De esto se sigue que $x^{2}+y^{2}+1^{2}= kp$ para algún $k \in \mathbb{N}$ y la prueba termina.$ Como le comenté a snw alguna vez, este hecho es uno de los ingredientes principales en una de las pruebas del teorema de Lagrange de los cuatro cuadrados. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 03:28 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hola! disculpen: creo que debería haber un "tipo" de competidor estándar, pues es demasiada la diferencia entre un usuario relativamente novato en el negocio y personajes como el sr coquitao ¿no les parece? A los mods: este msje debería haber ido en spoiler o bien directamente al creador del tema; sin embargo es como tan obvio que preferí plantearlo directamente. Saludos. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2012, 06:51 PM Publicado: #20
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kreator @ Aug 16 2012, 11:14 PM) Edit: NUEVA REGLA Supongamos que alguien responde el problema número "n". Esa persona no puede responder el "n+1", a menos que hayan pasado 48 horas sin que nadie haya respondido el problema "n+1" Que regla tan inutil, obvio que nadie contestará su propio propuesto. -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

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