[Maratón] Teoría de Números Opciones

[Kreator]

Con el objetivo de que el sector olímpico de fmat reviva, les propongo la idea de hacer una maratón de teoría de números. Creo que hay una nueva generación de olímpicos en camino, asi que lo ideal sería hacer oscilar los problemas en términos de tópicos de olimpiadas. Ojalá la dificultad, como dijo el gik por ahí, vaya entre "no tan fácil", y "difícil", para que todos podamos entretenernos, que es toda la idea de hacer estas cosas.

Las reglas serán las siguientes:

* Quien resuelva de forma correcta, propone el siguiente problema
*Si en un plazo de 24 hrs nadie ha dado una solución al problema, quien propuso deberá dar UN hint.
*Estamos en un foro olímpico, así que se espera que tanto los problemas como las soluciones estén a ese nivel.
*Una vez resuelto el problema, se debe dar su fuente (ojalá libros, pero si ese no es el caso, poner por último "un cuaderno")
*La solución deberá ir con spoiler
*Entretenerse, que es la idea

Bueno, yo parto proponiendo, uno no tan difícil, para que tome vuelo el tema:



Edit: NUEVA REGLA Supongamos que alguien propone el problema número "n". Esa persona no puede responder el "n+1", a menos que hayan pasado 48 horas sin que nadie haya respondido el problema "n+1"



Mensaje modificado por Kreator el Aug 17 2012, 10:05 PM

[Seba²]

Solución:

El problema se traduce a con k entero, notemos altiro que k es impar, luego eso es equivalente a . Como con k impar, entonces debe ser par, entonces n-2=0 , n=2, luego si n=2 la expresion es equivalente a 9, lo cual es un cuadrado perfecto. Entonces el único n que cumple lo pedido es 2

Saludos !!!

[Kreator]

Solución correcta!
Fuente: Olimpiada Nacional de Matemática, Final Nacional 1992, P1

Proponga!

[Seba²]

Problema 2: Sea n el mayor multiplo de 36 tal que todos sus digitos son pares y distintos entre si. Encuentre los 3 últimos dígitos de n.

[Heiricar]

Solución:

Como es múltiplo de 36, en particular lo es de 9, luego la suma de sus cifras es múltiplo de 9, notemos que la suma de todos los dígitos pares es 8+6+4+2+0=20 que no es divisible por 9, luego el numero en custion posee solo 4 digitos del total de 5,ahora desechamos el 2 (ya que si desechamos el 0 la suma total sigue no siendo divisible por 9, y para maximizar el numero vamos eliminando los dígitos mas pequeños), ahora, es fácil notar que el mayor numero formado con las cifras 8,6,4 y 0 es 8640 que es 36x240

[Seba²]

Solución correcta!!!

Fuente: CMAT 2012 Primera Fecha Nivel 3 Problema 1

Proponga !!!

[Heiricar]

Problema 3: Hallar todos los números naturales n para los cuales n, n + 10 y n + 14 son todos primos.

[coquitao]

Problema 3: Hallar todos los números naturales n para los cuales n, n + 10 y n + 14 son todos primos.

n no puede ser de la forma 3k+1 porque en ese caso n+14 sería divisible por 3. Tampoco puede ser de la forma 3k + 2 porque en tal caso tendríamos n + 10 = 3k+12 = 3(k+4), un número divisible también por 3 (y mayor que 3 claramente). Entonces la única posibilidad es que n sea igual a 3. Como tanto 3 como 13 como 17 son números primos, estamos.

[snw]

slowpok

Mensaje modificado por snw el Aug 16 2012, 11:49 PM

[Heiricar]

Correcto!!, ahora te toca proponer (eso si no te vayas al chancho )