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Evaluación 2011 Verano Matemático, Curso: Aritmética

»führer« Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 12:35 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.271 Registrado: 16-May 11 Miembro Nº: 88.746	Evaluación Final Curso: Aritmética 2011 Profesor: Carlos Pérez Wilson $TEX: [Problema 1.] Demuestra que MCD (187,102) = 17, y luego expresa 17 como combinación lineal de 187 y 102 (es decir identifica los valores $\alpha\; y \; \beta,\;\; tales\;\; que\;\;\;17 = 187\cdot \alpha + 102 \cdot \beta)$$ $TEX: [Problema 2.] Demuestra que para todo valor de $n \in \mathbb{N}$, se tiene:$ $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{N}(n+1)2^{n} = N2^{N+1}$$ $TEX: [Problema 3.]$ $TEX: a) Para $a,m \in \mathbb{N}$, resuelve la ecuación $ax\equiv m(mod\;m)$$ $TEX: b) Encuentra las soluciones, si existen, de la siguiente ecuación$ $TEX: $7x\equiv 1(mod\;9)$$ $TEX: [Problema 4.]$ $TEX: Dado los siguientes numeros presentados en forma de factores primos, determina su MCD y MCM:$ $TEX: $M= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \cdot 11^4 $$ $TEX: $N= 2^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11 \cdot 17^2$$ $TEX: [Problema 5.] Analiza cuál de las siguientes es verdadera o falsa, demostrando o indicando contra ejemplos.$ $TEX: a) Si cada uno de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3$ $TEX: b) Para números enteros $a, b, c$, si $c$ divide a $(a+b)$ entonces $c$ divide a a ó $c$ divide a $b$$ $TEX: c) Para números enteros $a, b, c$ si $c$ divide a $(ab)$ entonces $c$ divide a $a$ ó $c$ divide a $b$$ -------------------- cambié de cuenta, adiós

E.Rodriguez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 12:38 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 539 Registrado: 21-January 11 Desde: Santiago - Osorno - Chile Miembro Nº: 83.254 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(»führer« @ Jul 16 2012, 02:35 AM) Evaluación Final Curso: Aritmética 2011 Profesor: Carlos Pérez Wilson $TEX: [Problema 1.] Demuestra que MCD (187,102) = 17, y luego expresa 17 como combinación lineal de 187 y 102 (es decir identifica los valores $\alpha\; y \; \beta,\;\; tales\;\; que\;\;\;17 = 187\cdot \alpha + 102 \cdot \beta)$$ $TEX: [Problema 2.] Demuestra que para todo valor de $n \in \mathbb{N}$, se tiene:$ $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{N}(n+1)2^{n} = N2^{N+1}$$ $TEX: [Problema 3.]$ $TEX: a) Para $a,m \in \mathbb{N}$, resuelve la ecuación $ax\equiv m(mod\;m)$$ $TEX: b) Encuentra las soluciones, si existen, de la siguiente ecuación$ $TEX: $7x\equiv 1(mod\;9)$$ $TEX: [Problema 4.]$ $TEX: Dado los siguientes numeros presentados en forma de factores primos, determina su MCD y MCM:$ $TEX: $M= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \cdot 11^4 $$ $TEX: $N= 2^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11 \cdot 17^2$$ $TEX: [Problema 5.] Analiza cuál de las siguientes es verdadera o falsa, demostrando o indicando contra ejemplos.$ $TEX: a) Si cada uno de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3$ $TEX: b) Para números enteros $a, b, c$, si $c$ divide a $(a+b)$ entonces $c$ divide a a ó $c$ divide a $b$$ $TEX: c) Para números enteros $a, b, c$ si $c$ divide a $(ab)$ entonces $c$ divide a $a$ ó $c$ divide a $b$$ Para el p2 cualquier forma de demostración? -------------------- Esteban A. Rodríguez M. Ex- alumno Generación 2011 Colegio San Mateo-Osorno "Por muy larga que sea la tormenta, el sol siempre vuelve a brillar entre las nubes" - Khalil Gibran

»führer« Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 12:39 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.271 Registrado: 16-May 11 Miembro Nº: 88.746	Se pasa inducción, así que asumo que por ese lado será el desarrollo correcto... -------------------- cambié de cuenta, adiós

E.Rodriguez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 01:10 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 539 Registrado: 21-January 11 Desde: Santiago - Osorno - Chile Miembro Nº: 83.254 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No sé si el intento de solución que voy a postear está bien o no... debido a que tengo muy oxidada inducción (y tengo exámen el miércoles XD) Veamos que sale: Problema 2: $TEX: $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}(n+1)2^n=N2^{N+1}$$ Aplicando inducción sobre N $TEX: $N=1$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{1}(n+1)2^n=(1+1)\cdot 2=1\cdot 2^{1+1}=4 \Rightarrow V$$ Suponiendo que es verdadero para algun n>=1 $TEX: $N\Rightarrow N+1$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{N+1}(n+1)2^n\underbrace{=\sum_{n=1}^{N}(n+1)2^n}_{H.I}+(N+1+1)2^{N+1}$$ $TEX: $N2^{N+1}+(N+1+1)2^{N+1}=2^{N+1}(2N+2)=2^{(N+1)+1}\cdot(N+1)$$ Demostrado por inducción. PD: así era esta cosa verdad? parece que alguien va a tener que repasar para su exámen Mensaje modificado por E.Rodriguez el Jul 16 2012, 01:10 AM -------------------- Esteban A. Rodríguez M. Ex- alumno Generación 2011 Colegio San Mateo-Osorno "Por muy larga que sea la tormenta, el sol siempre vuelve a brillar entre las nubes" - Khalil Gibran

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2012, 11:34 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	que risa! hay un curso llamado "números reales y complejos I" que se dicta en 1er semestre para pedagogía en matemáticas UdeC... las pruebas de ese curso tratan de esto mismo, pero muuuuuuuuucho mas SIMPLE .___. lógica mode: off -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

camilojrqra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2012, 03:23 AM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 15-August 11 Miembro Nº: 92.968 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\begin{gathered}<br /> {\text{P1}}{\text{. Con algoritmo de Euclides: }} \\ <br /> {\text{187:102 = 1 residuo 85}} \\ <br /> {\text{102:85 = 1 residuo 17}} \\ <br /> {\text{85:17 = 5 residuo 0}} \\ <br />\end{gathered} $$ $TEX: $MCD{\text{ es el \'ultimo residuo que no es 0}}{\text{, o sea 17}}{\text{.}}$$ $TEX: ${\text{La ec}}{\text{. Diof\'antica tiene soluci\'on pues }}MCD{\text{ de 187 y 102 es divisor de 17}}$$ $TEX: $\begin{gathered}<br /> 187x + 102y = 17 /:17\\ <br /> 11x + 6y = 1 \\ <br />\end{gathered} $$ $TEX: ${\text{Ahora es f\'acil notar que una soluci\'on particular de la ec. es }}x_0 = - 1,{\text{ }}y_0 = 2$$ $TEX: ${\text{Con la soluci\'on particular encontrada}}{\text{, el resto de las soluciones vienen dadas por}}$$ $TEX: $$x = {x_0} + \frac{b}{{MCD(a,b)}}n,{\text{ y}} = {y_0} - \frac{a}{{MCD(a,b)}}n,{\text{ }}n \in \mathbb{Z}$$$ $TEX: $MCD(11,6) = 1$$ $TEX: $\begin{gathered}<br /> {\text{ }}x = - 1 + \frac{6}{1}n{\text{ }} \Rightarrow 6n - 1 \hfill \\<br /> {\text{y}} = 2 - \frac{{11}}{1}n \Rightarrow - 11n + 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} $$

»führer« Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2012, 03:34 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.271 Registrado: 16-May 11 Miembro Nº: 88.746	ajaja resumen antitorpedo detected ajajaj xD -------------------- cambié de cuenta, adiós

camilojrqra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2012, 03:50 AM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 15-August 11 Miembro Nº: 92.968 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Jajjajajaj es que se me habia olvidado lo de las soluciones generales

alexis parra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2012, 02:42 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.689 Registrado: 5-September 10 Desde: villarrica Miembro Nº: 76.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Problema 4<br /><br />\[\begin{array}{l}<br /> M = {2^4} \cdot 3 \cdot {5^2} \cdot {7^3} \cdot {11^4} \\ <br /> N = {2^2} \cdot {5^4} \cdot {7^3} \cdot 11 \cdot {17^2} \\ <br /> m.c.m(M,N) = {2^4} \cdot 3 \cdot {5^4} \cdot {7^3} \cdot {11^4} \cdot {17^2} \\ <br /> M.C.D(M,N) = {2^2} \cdot {3^0} \cdot {5^2} \cdot {7^3} \cdot 11 \cdot {17^0} \\ <br /> \end{array}\]$ tengo mis dudas... esta bien el del 7?

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