 Volumen constante |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Ejercitación > Cálculo > Cálculo en Varias Variables  |
 Jul 14 2012, 10:14 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
Considere la superficie definida por los puntos del espacio que satisfacen la relación xyz = a^3 donde a es una constante positiva. Determine el plano tangente a la superficie en un punto arbitrario, y luego demuestre que el volumen encerrado por el plano tangente y los planos coordenados es constante. Encuentre dicho volumen.
Un poco de cálculo para soltar la mano. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto. |
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Dec 5 2014, 07:08 PM
Publicado:
#2
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 Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 34 Registrado: 21-January 10 Desde: Mexico Miembro Nº: 65.274 Nacionalidad:  Sexo: |
![TEX: <br />Tenemos que el plano tangente $\mathcal{P_{T}}$ a la superficie $F(x,y,z)=xyz-a^{3}=0$ en el punto $(\alpha,\beta,\gamma)$ está dado por $\vec{\nabla}F(\alpha ,\beta ,\gamma )\cdot \vec{B}=0$, donde\\ $\vec{\nabla}F(x,y,z)=<yz,xz,xy>$ y $\vec{B}=<x-\alpha ,y-\beta ,z-\gamma >$, lo que nos queda:\\ \\<br />$\mathcal{P_{T}}:\beta \gamma (x-\alpha)+\alpha \gamma (y-\beta)+\alpha \beta (z-\gamma)=0$\\ \\<br />$\mathcal{P_{T}}:\beta \gamma x +\alpha \gamma y + \alpha \beta z=3\alpha \beta \gamma$\\ \\<br />$\mathcal{P_{T}}:\dfrac{x}{3\alpha} +\dfrac{y}{3\beta}+\dfrac{z}{3\gamma}=1$\\ \\<br />donde las intersecciones con los ejes $x,y,z$ son $3\alpha,3\beta$ y $3\gamma$ respectivamente.\\ \\<br />Despejando tenemos que $z=3\gamma-\dfrac{\gamma x}{\alpha}-\dfrac{\gamma y}{\beta}$.<br /> Entonces el volumen estará dado por:\\ \\<br />$V=\displaystyle \int_{0}^{3\beta}\int_{0}^{\alpha(3-\frac{y}{\beta})}\left(3\gamma-\dfrac{\gamma x}{\alpha}-\dfrac{\gamma y}{\beta}\right)dxdy$\\ \\<br />$V=\gamma \displaystyle \int_{0}^{3\beta}\int_{0}^{\alpha(3-\frac{y}{\beta})}\left(3-\dfrac{x}{\alpha}-\dfrac{y}{\beta}\right)dxdy$\\ \\<br />$V=\gamma \displaystyle \int_{0}^{3\beta}\left[ \alpha \left(3-\dfrac{y}{\beta}\right)^{2}-\dfrac{1}{2\alpha}\left( \alpha(3-\frac{y}{\beta})\right)^2 \right]dy$\\ \\<br />$V=\gamma \displaystyle \int_{0}^{3\beta}\left[ \dfrac{\alpha}{2} \left(3-\dfrac{y}{\beta}\right)^{2}\right]dy$\\ \\<br />$V= \dfrac{\alpha \gamma}{2} \displaystyle \int_{0}^{3\beta}\left[ \left(\dfrac{y}{\beta}-3\right)^{2}\right]dy$\\ \\<br />$V= \displaystyle \dfrac{\alpha \beta \gamma}{6} \left[\left( \dfrac{y}{\beta}-3\right)^{3}\right]_{0}^{3\beta}$\\ \\<br />$V=\dfrac{27\alpha \beta \gamma}{6}=\dfrac{9\alpha \beta \gamma}{2}=\dfrac{9a^{3}}{2}$ ya que $(\alpha,\beta,\gamma)$ está sobre la superficie.\\ \\<br />$\therefore$ el volumen es constante e igual a $\dfrac{9a^{3}}{2}$<br />](/tex-image/6b1097c3fd5c6566b8413c02c44de8fd.png)
Mensaje modificado por efp el Dec 6 2014, 12:17 AM -------------------- La Perfecta Fluctuación del Universo
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