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Densidad

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2012, 05:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent <br />Sea $G\subset ]0,\infty[$ un abierto no acotado. Muestre que el conjunto $$\{x\in]0,\infty[:nx\in G\text{ para infinitos }n\in\mathbb N\}$$ es denso en $]0,\infty[$.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2012, 06:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Llamemos $A$ a el conjunto en cuestion. Notemos que<br />$$A=\{x\in(0,\infty) : x\in \frac{G}{n} \mbox{para infinitos n} \}$$<br />$$=\{x\in(0,\infty) : \forall m\in \mathbb N \ \ \exists n\geq m / x\in \frac{G}{n} \}=\bigcap_{m\in \mathbb N} \bigcup_{n\geq m} \frac{G}{n}$$<br />Claramente $\bigcup_{n\geq m} \frac{G}{n}$ es abierto $\forall m\in \mathbb N$. Veamos ademas que es denso. Supongamos por contradicción que existe $x_0 \in (0,\infty)$ y $\varepsilon >0$ tal que<br />$\bigcup_{n\geq m} \frac{G}{n}\cap B(x_0,\varepsilon)=\emptyset$ lo que implica que<br />$$\frac{G}{n}\cap B(x_0,\varepsilon)=\emptyset \ \ \forall n\geq m$$<br />$$G\cap n B(x_0,\varepsilon)=\emptyset \ \ \forall n\geq m$$<br />$$G\cap \bigcup_{n\geq m}B(nx_0,n\varepsilon)=\emptyset$$<br />Notemos que si $n\geq n_0\geq \max\{ \frac{x_0}{\varepsilon},m \}$, el radio de las bolas es mas grande que la separación entre ellas y por lo tanto, $\bigcup_{n\geq m} B(nx_0,n\varepsilon )$ recubre $(n_0 x_0,\infty)$ lo que implica que $G$ es acotado, pero por hipotesis esto no puede ser, por lo tanto $\bigcup_{n\geq m} \frac{G}{n}$ es un abierto denso y por Baire, $A$ es denso como se queria demostrar.<br /><br /><br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2012, 10:38 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Un pelito más de justificación con Baire (para la posteridad) y estamos. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2012, 11:15 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Jul 19 2012, 11:38 PM) Un pelito más de justificación con Baire (para la posteridad) y estamos. Bueno, ningun problema $TEX: En el post anterior demostre que los conjuntos <br />$$A_m=\bigcup_{n\geq m} \frac{1}{n} G$$<br />son abiertos densos en $(0,\infty)$ y como este ultimo es denso en $[0,\infty)$ tenemos que los $A_m$ son abiertos densos en $[0,\infty)$ que es un e.m. completo, por lo tanto podemos aplicar Baire a los conjuntos $A_m$ obteniendo que <br />$$A=\bigcap_{m\in \mathbb N} A_m$$<br /> es denso en $[0,\infty)$ y esto claramente implica que es denso en $(0,\infty)$.<br /><br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Jul 19 2012, 11:18 PM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2012, 11:48 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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