E Teoría de la Integración

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E Teoría de la Integración, 1S 2012

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2012, 04:35 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Examen de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.5cm}<br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Se considera el espacio de medida $(\mathbb{R}^2,\mathcal{B}(\mathbb{R}^2),\lambda^{\otimes 2})$. Sean $a, b$ y $L$ reales tales que $0<a<b$ y $L>0$. Estudiando la integrabilidad de la función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $f(x,y)=\sin(xy)1_{[a,b]\times[0,L]}(x,y)$, probar mediante un paso al límite que<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\int_{0}^\infty \frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x}dx = \log\left(\frac{b}{a}\right)$.<br />\end{center}<br /><br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una aplicación medible. Si $f$ es positiva o integrable, probar usando un cambio de variables apropiado que se tiene<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\int_{\mathbb{R}+^2}f(x-y)e^{-(x+y)}dxdy = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}f(v)e^{-\|v\|}dv$.<br />\end{center}<br /><br />\item \textbf{Problema.} Sean $f,g$ dos funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ definidas en la forma siguiente<br /><br />\begin{center}<br />$f(x) = \left\{\begin{array}{cc}<br />\sqrt{1-x} & \text{si } x<1,\\<br />0 & \text{si } x\ge1.<br /><br />\end{array}\right.$<br />\end{center}<br /><br />\begin{center}<br />$g(x) = \left\{\begin{array}{cc}<br />0 & \text{si } x\le0,\\<br />x^2 & \text{si } x>0.<br /><br />\end{array}\right.$<br />\end{center}<br /><br />Sean $\mu=f\cdot\lambda$ y $\nu = g\cdot\lambda$ las medidas definidas sobre la tribu boreliana $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, de densidades respectivas $f$ y $g$ con respecto a la medida de Lebesgue $\lambda$. Determinar la descomposición de Lebesgue de $\mu$ con respecto a $\nu$ y la derivada de Radon-Nikodym con respecto a $\nu$ de la parte absolutamente continua de $\mu$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)