I3 Teoría de la Integración

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I3 Teoría de la Integración, 1S 2012

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2012, 04:02 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Interrogación 3 de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.5cm}<br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Consideramos el espacio $(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2), \lambda^{\otimes 2})$ y definimos $q(y) :=[y/\pi]+1$, donde $[\cdot]$ es la función \textit{parte entera}, y $r(y):=y-[y/\pi]\pi$. Se tiene así que para $y\in[k\pi,(k+1)\pi[, k\in\mathbb{N}, q(y)=k+1$ y $r(y)\in[0,1[$.<br /><br />Sea $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por<br /><br />\begin{center}<br />$f(x,y):=\exp\left(-xq(y)^2\sqrt{r(y)}\right)1_{]0,\infty[}(x)1_{]0,\infty[}(y)$.<br />\end{center}<br /><br />¿Es $f$ integrable sobre $\mathbb{R}^2$?<br /><br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio de medida, $f$ una función real medible definida sobre $\Omega$ y considere los siguientes casos:<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item La medida $\mu$ es una probabilidad. Pruebe que entonces la aplicación $p\mapsto\|\|f\|\|_p$ de $[1,\infty]$ en $[0,\infty]$ es creciente.<br />\item $\Omega = \mathbb{N}, \mathcal{F}=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mu$ la medida de conteo: $\mu(\{n\})=1$, para todo $n\in\mathbb{N}$. Probar que en este caso la aplicación $p\mapsto\|\|f\|\|_p$ es decreciente.<br />\item Suponga enseguida que $(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ es un espacio de medida general y que $f$ es una función medible numérica. Pruebe que se cumple $\|\|f\|\|_{\infty}\le\liminf_{p\to\infty}\|\|f\|\|_{p\to\infty}\|\|f\|\|_p$. Demuestre que se tiene la igualdad ya sea si se supone que $\mu(\Omega)<\infty$ o bien que $\|\|f\|\|_1<\infty$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br /><br />$ $TEX: <br />\noindent 3. \textbf{Problema} Se define una medida $\sigma$-finita $\mu$ sobre $(]0,\infty[,\mathcal{B}(]0,\infty[))$ en la forma:<br /><br />\begin{center}<br />$\mu(A) = \displaystyle\int_{A}\frac{1}{x}dx, (A\in\mathcal{B}(]0,\infty[))$.<br />\end{center}<br /><br />\noindent (a) Probar que $\mu$ es invariante para el grupo multiplicativo, es decir que:<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\int_{]0,\infty[}f(\alpha x)\mu(dx) = \int_{]0,\infty[}f(x)\mu(dx), \alpha\in]0,\infty[$,<br />\end{center}<br /><br />\noindent y <br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\int_{]0,\infty[}f\left(\frac{1}{x}\right)\mu(dx) = \int_{]0,\infty[}f(x)\mu(dx)$,<br />\end{center}<br /><br />\noindent para toda función boreliana numérica positiva $f$ definida sobre $]0,\infty[$.\\<br /><br />\noindent (b) Para dos funciones borelianas reales $f$ y $g$ definidas sobre $]0,\infty[$, se definen<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\Lambda_\mu(f,g) = \left\{x\in]0,\infty[: \int_{]0,\infty[}\left\|f\left(\frac{x}{y}\right)\right\|\|g(y)\|\mu(dy)<\infty\right\}$;<br />\end{center}<br /><br />\begin{center}<br />$f\bullet g=\left\{\begin{array}{cc}<br />\int_{]0,\infty[}f\left(\frac{x}{y}\right)g(y)\mu(dy) < \infty, & \text{ si } x\in\Lambda_\mu(f,g),\\<br />0, & \text{en caso contrario}<br />\end{array}\right.$<br />\end{center}<br /><br />\noindent Probar que $f\bullet g = g\bullet f$. Además, demostrar que si $p,q\in[1,\infty]$ satisfacen $\displaystyle\frac{1}{r}:=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1\ge 0$, entonces<br /><br />\begin{center}<br />$\mu(\Lambda_\mu(f,g)^c) = 0$, y $\|\|f\bullet g\|\|_r \le\|\|f\|\|_p\|\|g\|\|_q$.<br />\end{center}<br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)