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Examen Calculo II, s1-2012

kfunk Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2012, 06:10 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 4-April 10 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 67.758 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	MAT1620 - EXAMEN 29 de Junio de 2012 $TEX: \begin{enumerate}<br />\item Considere la curva $C$ dada por las ecuaciones paramétricas $$x=3t, \quad \quad y = 3t-t^2, \quad \quad t \in [0,1]$$<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $R$ la región comprendida entre $C$ y el eje OX. Hallar el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región $R$ en torno al eje OY.<br />\item Hallar el área de la superficie de revolución engendrada por rotación de $C$ en torno al eje OX.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Indique para que valores de $x \in \mathbb R$ la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^3x^{4n}}{(3n)!}$$ es convergente o divergente.<br />\item Sea la integral $$I := \int_0^1 e^{-x^2} \ dx.$$ Determine una aproximación $I_0$ del valor $I$ tal que $$\|I-I_0\| \leq 10^{-1}.$$<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Estudie la convergencia de $$\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+x^2}}.$$<br />\item Hallar la curvatura en cada punto que ella exista, de la curva en el plano cuya ecuación polar es $r(\theta) = 1 + cos(\theta)$ con $\theta \in [0,2 \pi)$. Si hay puntos en los que la curvatura no exista, indíquelos.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Encuentre todos los valores de $a,b,c \in \mathbb R$ tales que la curva $\Gamma_{a,b,c} = \left\{ r(t) : t \in \mathbb R \right\}$ parametrizada por $$r(t) = (a+t+t^2,t^2+bt^3,t+ct^3)$$ sea una curva plana.<br />\item Para $\Gamma_{a,b,c}$ de la parte a), encuentre la ecuación normal del plano que la contiene.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}$ Igual fue un examen bastante completo, entró de verdad, casi toda la materia del curso. Saludos. Mensaje modificado por kfunk el Jun 29 2012, 06:11 PM

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josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 6 2012, 10:01 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La pregunta 3 a) Veamos que : $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}<br />+\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ Para la integral: $TEX: $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}(x^{2}+1)}}<br />=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt[3]{1+x^{2}}}<br />$$$ . Consideremos la funcion: $TEX: $$g(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$$$ , y se procede a calcular: $TEX: $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt[3]{1+x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^{2}}}=1$$$ Como el limite resultante es una constante no nula, las integrales de las funciones se comportan igual, con lo que la integral: $TEX: $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ converge. Para la integral: $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ basta notar que para el intervalo de integracion: $TEX: $$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$$$ Pero es claro que $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}}}$$$ converge, con lo que: $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ tambien lo hace. Finalmente, de los puntos anteriores se tiene que la integral: $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ es convergente. Mensaje modificado por josemetal el Nov 6 2012, 10:02 PM -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

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manzanin Vamos a ver si sale la P2.a) -No me acuerdo mucho... Nov 4 2012, 11:10 PM

manzanin Estaba cachando que arriba falta evaluar en 1 y ve... Nov 6 2012, 09:09 PM

josemetal La pregunta 3 a) Veamos que : $$... Nov 6 2012, 10:01 PM

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