Examen Calculo II, s1-2012 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad Católica > Cálculo II

Reply to this topic

Start new topic

Examen Calculo II, s1-2012

kfunk Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2012, 06:10 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 4-April 10 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 67.758 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	MAT1620 - EXAMEN 29 de Junio de 2012 $TEX: \begin{enumerate}<br />\item Considere la curva $C$ dada por las ecuaciones paramétricas $$x=3t, \quad \quad y = 3t-t^2, \quad \quad t \in [0,1]$$<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $R$ la región comprendida entre $C$ y el eje OX. Hallar el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región $R$ en torno al eje OY.<br />\item Hallar el área de la superficie de revolución engendrada por rotación de $C$ en torno al eje OX.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Indique para que valores de $x \in \mathbb R$ la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^3x^{4n}}{(3n)!}$$ es convergente o divergente.<br />\item Sea la integral $$I := \int_0^1 e^{-x^2} \ dx.$$ Determine una aproximación $I_0$ del valor $I$ tal que $$\|I-I_0\| \leq 10^{-1}.$$<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Estudie la convergencia de $$\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+x^2}}.$$<br />\item Hallar la curvatura en cada punto que ella exista, de la curva en el plano cuya ecuación polar es $r(\theta) = 1 + cos(\theta)$ con $\theta \in [0,2 \pi)$. Si hay puntos en los que la curvatura no exista, indíquelos.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Encuentre todos los valores de $a,b,c \in \mathbb R$ tales que la curva $\Gamma_{a,b,c} = \left\{ r(t) : t \in \mathbb R \right\}$ parametrizada por $$r(t) = (a+t+t^2,t^2+bt^3,t+ct^3)$$ sea una curva plana.<br />\item Para $\Gamma_{a,b,c}$ de la parte a), encuentre la ecuación normal del plano que la contiene.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}$ Igual fue un examen bastante completo, entró de verdad, casi toda la materia del curso. Saludos. Mensaje modificado por kfunk el Jun 29 2012, 06:11 PM

manzanin	Nov 4 2012, 11:10 PM Publicado: #2
Invitado	Vamos a ver si sale la P2.a) -No me acuerdo mucho de convergencia - Vamos a usar el criterio del cuociente: Sea $TEX: $$a_{n}=\frac{\left( n! \right)^{3}x^{4n}}{(3n)!}$$$ Entonces $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(3n)!\left( (n+1)! \right)^{3}x^{4n+4}}{\left( n! \right)^{3}x^{4n}(3n+3)!}$$$ Pero notemos que: $TEX: $$(n+1)!=(n+1)n!$$$ y que, además, $TEX: $$(3n+3)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!$$$ Usando esto, la expresión de más arriba queda: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(3n)!(n+1)n!(n+1)n!(n+1)n!x^{4n+4}}{n!n!n!(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!x^{4n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(n+1)^{3}x^{4}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}$$$ Notemos que x^4 no depende de n y de lo que sobra, sobre sobrevive el n de mayor grado. Así. $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(n+1)^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n^{3}}{27n^{3}}=\frac{1}{27}$$$ Luego: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{27}x^{4}$$$ Esta cuestión converge si es menor que 1. Luego, para que la serie converja, $TEX: <br />$$x<\sqrt[4]{27}$$$ Mensaje modificado por manzanin el Nov 4 2012, 11:12 PM

manzanin	Nov 6 2012, 09:09 PM Publicado: #3
Invitado	Estaba cachando que arriba falta evaluar en 1 y ver qué pasa para poder concluir. Vamos con la P2.b) Consideremos la serie de taylor de la exponencial: $TEX: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{x^{n}}{n!}}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}...$$$ Entonces: $TEX: $$\int\limits_{0}^{1}{e^{-x^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x^{2}+\frac{(-x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-x^{2})^{3}}{3!}+... \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2!}-\frac{x^{6}}{3!}+... \right)dx}$$$ Resolvemos: $TEX: $$\int\limits_{0}^{1}{e^{-x^{2}}dx}=\left[ x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+... \right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+...$$$ Esta última serie cumple el criterio de leibniz y el error de la suma (resto) estará dado por el primer término que no se cuenta. Buscamos entonces cual de los términos es menor (o igual) que 0.1. Es claro que el término que cumple esto es 1/10. Así, el valor de $TEX: $$I_{0}$$$ será $TEX: <br />$$I_{0}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$$ Espero que esté bien.

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 6 2012, 10:01 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La pregunta 3 a) Veamos que : $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}<br />+\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ Para la integral: $TEX: $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}(x^{2}+1)}}<br />=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt[3]{1+x^{2}}}<br />$$$ . Consideremos la funcion: $TEX: $$g(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$$$ , y se procede a calcular: $TEX: $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt[3]{1+x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^{2}}}=1$$$ Como el limite resultante es una constante no nula, las integrales de las funciones se comportan igual, con lo que la integral: $TEX: $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ converge. Para la integral: $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ basta notar que para el intervalo de integracion: $TEX: $$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$$$ Pero es claro que $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}}}$$$ converge, con lo que: $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ tambien lo hace. Finalmente, de los puntos anteriores se tiene que la integral: $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{4}+x^{2}}}$$$ es convergente. Mensaje modificado por josemetal el Nov 6 2012, 10:02 PM -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

« Posterior · Cálculo II · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 06:02 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.