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I3 Análisis I, 1S2012

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 15 2012, 06:17 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}MPG3100 - Análisis I\\<br />Interrogación III - Miércoles 13 de Junio de 2012\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $(X,\mathcal A,\mu)$ un espacio de medida.<br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $f,f_n:X\to[0,\infty]$ funciones $\mathcal A$-medibles con $f_n\downarrow f$ $\mu$-c.t.p. en $X$ y $\int_X f_1d\mu<\infty$. Muestre que $\int_x f_nd\mu\downarrow\int_X fd\mu$.<br />\item Sea $(f_n)_n$ una sucesión de funciones $f_n:X\to[-\infty,\infty]$ $\mathcal A$-medibles e integrables. Suponga que $f_n\to f$ $\mu$-c.t.p. en $X$ y suponga que existe $M>0$ tal que $\int_X\|f_n\|d\mu\le M$ para cada $n\ge 1$. Muestre que $f$ es integrable en $X$ y<br />$$\lim_{n\to\infty}\int_X\left(\|f_n\|-\|f_n-f\|\right)d\mu=\int_X\|f\|d\mu.$$<br />\end{enumerate}<br />\item Sea $(X,\mathcal A,\mu)$ un espacio de medida finita.<br />\begin{enumerate}<br />\item Muestre que $f_n\to f$ en medida si y sólo si<br />$$\lim_{n\to\infty}\inf_{\epsilon>0}\frac{\epsilon+\mu(\|f_n-f\|\ge \epsilon)}{1+\epsilon+\mu(\|f_n-f\|\ge \epsilon)}=0.$$<br />\item Sea $E_k(\epsilon)=\{\|f_k-f\|\ge\epsilon\}$ para cada $k\ge 1$ y $\epsilon>0$. Si $\mu(A)<\infty$, muestre que $f_n\to f$ $\mu$-c.t.p. en $A$ si y sólo si para todo $\epsilon>0$ se tiene que $\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k\ge n}E_k(\epsilon)\right)=0$.<br />\end{enumerate}<br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $\nu$ una medida con signo en $(X,\mathcal A)$ y sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ tal que $\int_X fd\nu$ está definida. Muestre que <br />$$\left\|\int_X fd\nu\right\|\le\int_X\|f\|d\|\nu\|.$$<br />\item Sean $\mu$ y $\nu$ dos medidas en $(X,\mathcal A)$ con $\nu\ll\mu$. Si $\lambda=\mu+\nu$, muestre que $\nu\ll\lambda$. Si $f:X\to[0,\infty]$ es medible y $\nu=f\cdot\lambda$, muestre que $0<f\le 1$ $\mu$-c.t.p. en $X$ y $\nu=\frac{f}{1-f}\mu$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[4.] Sea $f:\mathbb R^n\to[-\infty,\infty]$ Lebesgue medible y finita $\lambda$-c.t.p. Muestre que para cada $\delta>0$ existe $B\subset\mathbb R^n$ medible y $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ continua tales que $\lambda(B^c)<\delta$ y $f=g$ en $B$. Este es el teorema de Lusin.<br /><br />Hints:<br />\begin{enumerate}<br />\item Muestre que existe una sucesión de funciones continuas $(\phi_n)$ en $\mathbb R^n$ tales que $\int\|f-\phi_n\|d\lambda\to 0$ cuando $n\to\infty$. Deduzca que existe una sub-sucesión $(\phi_{n_k})$ que converge a $f$ $\lambda$-c.t.p.<br />\item Considere los cubos $Q_{m_1,\ldots,m_n}=[m_1,m_1+1)\times\ldots\times[m_n,m_n+1)$ para cada $m_i\in\mathbb Z$ y enumerelos como $Q_1,Q_2$, etc. Entonces, estos cubos son disjuntos y cubren $\mathbb R^n$. Use el teorema de Egoroff para mostrar que para todo cubo $Q_k$ existe un conjunto cerrado $B_k\subset Q_k$ tal que $\lambda(Q_k\smallsetminus B_k)<\frac{\delta}{2^k}$ y que $\phi_{n_k}$ converge uniformemente a $f$ en $B_k$. En particular, la restricción de $f$ a $B_k$ es continua en $B_k$.<br />\item Considere $B=\bigcup_{k=1}^\infty B_k$ y muestre que $\lambda(B^c)<\delta$, que $B$ es cerrado y que $\left.f\right\|_B$ es continua en $B$.<br />\item Use el teorema de extensión de Tietze para probar que existe $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ continua tal que $f=g$ en $B$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2019, 10:20 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: (a) Como $f_n\downarrow f$ entonces $f_1 - f_n \uparrow f_1 - f$ $\mu$-c.t.p. y además $f_1 - f_n\geq 0 , \forall n$, luego por TCM: $\int_X (f_1 - f_n)d\mu \uparrow \int_X (f_1 - f)d\mu$ y como $\int_X f_1d\mu <\infty$ se sigue que $\int_X f_nd\mu \downarrow \int_X fd\mu$ $\blacksquare$\\<br /><br />(b) Usando el lema de Fatou, se tiene que $\int_X \|f\|d\mu = \int_X \liminf \|f_n\|d\mu \leq \liminf \int_X \|f_n\|d\mu \leq M$, de donde se concluye que $f$ es integrable. Finalmente, vemos que $\|f_n\| - \|f_n - f\|\to \|f\|$ $\mu$-c.t.p. y además $\|\|f_n\| - \|f_n - f\|\|\leq \|f\|$ (triangular inversa), se sigue por TCD que $\int_X \|f_n\| - \|f_n - f\| \to \int_X \|f\|$ $\blacksquare$$ P2 $TEX: (a) $\Rightarrow )$ Notemos que $\displaystyle\forall \delta >0, \ a_n\doteq \inf_{\epsilon>0}\frac{\epsilon+\mu(\|f_n-f\|\ge \epsilon)}{1+\epsilon+\mu(\|f_n-f\|\ge \epsilon)}\leq \frac{\delta+\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}{1+\delta+\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}\leq \frac{\delta}{1+\delta} + \frac{\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}{1+\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}$, luego, sea $\eta>0$, fijando $\delta >0$ tq $\dfrac{\delta}{1+\delta}<\dfrac{\eta}{2}$ y luego usando la convergencia en medida, tenemos $n_0\in\mathbb{N}$ tq $\forall n\geq n_0$, $\dfrac{\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}{1+\mu(\|f_n-f\|\ge \delta)}<\dfrac{\eta}{2}$, se concluye que $\displaystyle \forall n\geq n_0 : a_n\leq \dfrac{\eta}{2} + \dfrac{\eta}{2} = \eta$, que es lo que se quería.\\<br /><br />$\Leftarrow)$ Supongamos que no hay convergencia en medida, es decir, $\exists \delta,\eta >0$ y una subsucesión tq $\mu(\|f_{n_k}-f\|\geq\delta)\geq \eta, \forall k$. Con esto vemos que si $\epsilon\in (0,\delta)$, $\displaystyle \frac{\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}{1+\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}\geq \frac{\epsilon + \eta}{1+\epsilon + \mu(X)}\geq \frac{\eta}{1+\delta+\mu(X)}$, y por otro lado, si $\epsilon\geq \delta : $ $\displaystyle \frac{\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}{1+\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}\geq \frac{\epsilon}{1+\epsilon + \mu(X)}\geq \frac{\delta}{1+\delta + \mu(X)}$ (la última desigualdad es porque $t\to\frac{t}{1+t+\mu(X)}$ es creciente). Con lo anterior: $\displaystyle a_{n_k}=\inf_{\epsilon>0}\frac{\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}{1+\epsilon+\mu(\|f_{n_k}-f\|\ge \epsilon)}\geq \frac{\min{\{\eta , \delta\}}}{1+\delta+\mu(X)}>0$, pero como $a_{n_k}\to 0$ obtenemos una contradicción $\blacksquare$\\<br /><br />(b) $\Rightarrow)$ Sea $\epsilon >0$. Notemos que por la convergencia c.t.p. $D=\{ x: f_n(x)\nrightarrow f(x) \}$ tiene medida nula. Por continuidad de la medida y la finitud, es fácil ver que $\mu(\bigcup_{k\geq n}E_k(\epsilon))\to\mu(\limsup E_n(\epsilon))$, y vemos que $x\in\limsup E_n(\epsilon)\iff \forall n,\exists k\geq n : \|f_k(x)-f(x)\|\geq \epsilon\Rightarrow f_n(x)\nrightarrow f(x)\Rightarrow x\in D\Rightarrow \limsup E_n(\epsilon)\subset D$, de esta manera $\mu(\limsup E_n(\epsilon))=0$ y se concluye.\\<br /><br />$\Leftarrow)$ Usando parte del argumento anterior, tenemos ahora que $\forall \epsilon >0 : \mu(\limsup E_n(\epsilon)) = 0$, definamos $C=\bigcup_{\epsilon\in\mathbb{Q}}{\limsup E_n(\epsilon)}$, como es una unión numerable de conjuntos de medida nula, $\mu© = 0$. Con esto, sea $x\in D$, i.e. $\exists \eta >0, \forall n, \exists k\geq n : \|f_k(x) - f(x)\|\geq \eta$, pero sabemos que $\exists q\in \mathbb{Q} : q<\eta$, luego $x\in \limsup E_n(q)\Rightarrow x\in C$, luego $D\subset C$ y por tanto $\mu(D) = 0$, de donde se concluye la convergencia c.t.p.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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