Funcion continua con parte entera Opciones

[Minato14]

Determine el mayor valor de para que la función f(x)=min{a , 41[x]^2-8[x]-43}, sea continua en R. Nota: [x] es la parte entera de x.

Si me pueden ayudar, les estaria muy agradecido

[MATHMAN]

Creo que Fmat no te va a hacer las tareas de galyleo

[Kura]

Grafique, Grafique.

[pipex123]

encuentra los limites laterales

[Danhek]

Mensaje modificado por Danhek el Apr 6 2018, 05:28 AM

[Kaissa]

Creo que Fmat no te va a hacer las tareas de galyleo

JA!

han hecho tantas ya...

admítanlo! si les gusta hacerle la tarea a 3ros, excepto cuando son alumnos de uds (situación que ocurrió con jorgeaguayo)

insisto con lo que dije en otro topic: "en algún lugar/momento te tienes que tirar flores..."

[GerardoTodo]

Te dejo algo de lo que me enseñaron en las preparatorias en querétaro
Para que la función sea continua en R, debe cumplirse que el límite de la función en cualquier punto de R sea igual al valor de la función en ese punto.

Primero, notemos que la función f(x) es constante en cada intervalo [n, n+1), donde n es un número entero. En cada intervalo, la función toma el valor de a si este es menor que 41[x]^2-8[x]-43, y toma el valor de 41[x]^2-8[x]-43 si este es menor que a. Además, en los puntos enteros la función toma el valor de a si este es menor que 41n^2-8n-43, y toma el valor de 41n^2-8n-43 si este es menor que a.

Por lo tanto, el límite de la función en un punto entero n será el mismo que el valor de la función en ese punto, es decir:

lim x→n f(x) = f(n) = min{a, 41n^2-8n-43}

Para que la función sea continua en R, este límite debe ser igual al valor de la función en cualquier otro punto x de R. Por lo tanto, para que la función sea continua en R, debe cumplirse que:

lim x→n f(x) = lim x→n+1 f(x)

Es decir,

min{a, 41n^2-8n-43} = min{a, 41(n+1)^2-8(n+1)-43}

Si a es menor que 41(n+1)^2-8(n+1)-43, entonces el valor de la función en cualquier punto del intervalo [n, n+1) será igual a a, y por lo tanto la función será continua en ese intervalo. Pero si a es mayor o igual que 41(n+1)^2-8(n+1)-43, entonces el valor de la función en cualquier punto del intervalo [n, n+1) será igual a 41n^2-8n-43, y por lo tanto la función será continua en ese intervalo si y solo si:

41n^2-8n-43 ≤ a

Para que la función sea continua en todo R, debe cumplirse esta última desigualdad para todos los enteros n. Podemos resolver esta desigualdad utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

41n^2-8n-43 ≤ a

41n^2-8n-a-43 ≤ 0

n = (8 ± sqrt(64 + 4a(41)(43)))/(2(41)) = (4 ± sqrt(4a^2+7164))/41

Si a ≤ 43/4, entonces la desigualdad se cumple para cualquier valor de n, y por lo tanto la función es continua en todo R.

Si a > 43/4, entonces podemos calcular los dos valores de n que hacen que la función cambie de valor. Estos valores son:

n1 = (4 - sqrt(4a^2+7164))/41
n2 = (4 + sqrt(4a^2+7164))/41

Si la desigualdad se cumple para ambos valores de n, entonces la función será continua en todo R. Es decir, deben cumplirse las siguientes desigualdades:

41n1^2-8n1-43 ≤ a
41n2^2-8n2-43 ≤ a

Sustituyendo los valores de n