Funcion continua con parte entera Opciones

[Minato14]

Determine el mayor valor de para que la función f(x)=min{a , 41[x]^2-8[x]-43}, sea continua en R. Nota: [x] es la parte entera de x.

Si me pueden ayudar, les estaria muy agradecido

[GerardoTodo]

Justo es lo que hoy toque en las preparatorias en querétaro y lo resolvimos te dejo el resultado:
Para que la función sea continua en $\mathbb{R}$, deben cumplirse las siguientes condiciones:

$\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$ para todo $a\in\mathbb{R}$
$f(x)$ debe estar definida en todo $\mathbb{R}$
Consideremos la segunda condición. La función $f(x)$ está definida para todo $x\in\mathbb{R}$ si y solo si $41[x]^2-8[x]-43\geq a$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Recordemos que $[x]$ es la función parte entera, que redondea $x$ al entero más cercano.

Para resolver la desigualdad, consideremos dos casos:

$x\geq n$, donde $n$ es un entero: En este caso, $[x]=n$, por lo que la desigualdad se reduce a $41n^2-8n-43\geq a$.

$x<n$, donde $n$ es un entero: En este caso, $[x]=n-1$, por lo que la desigualdad se reduce a $41(n-1)^2-8(n-1)-43\geq a$.

Ahora podemos considerar la primera condición. Observemos que la función $f(x)$ es continua en todo $x$ donde $f(x)=a$, ya que en ese caso $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)=a$. Por lo tanto, el único punto en el que debemos preocuparnos por la continuidad es en los puntos donde $f(x)$ cambia de valor.

Si $f(x)$ cambia de valor de $a$ a $41[x]^2-8[x]-43$ en $x=b$, entonces $\lim_{x\to b^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)=a$. Por lo tanto, debemos tener $a=41[b]^2-8[b]-43$.

En resumen, para que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$, debemos tener:

$41n^2-8n-43\geq a$ para todo $n\in\mathbb{Z}$
$41(n-1)^2-8(n-1)-43\geq a$ para todo $n\in\mathbb{Z}$
$a=41[b]^2-8[b]-43$ para todo $b\in\mathbb{R}$ donde $f(x)$ cambia de valor de $a$ a $41[x]^2-8[x]-43$
El mayor valor de $a$ que cumple estas condiciones es el menor valor de $a$ que cumple las desigualdades anteriores.

[2.718281828]

Justo es lo que hoy toque en las preparatorias en querétaro y lo resolvimos te dejo el resultado:
Para que la función sea continua en $\mathbb{R}$, deben cumplirse las siguientes condiciones:

$\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$ para todo $a\in\mathbb{R}$
$f(x)$ debe estar definida en todo $\mathbb{R}$
Consideremos la segunda condición. La función $f(x)$ está definida para todo $x\in\mathbb{R}$ si y solo si $41[x]^2-8[x]-43\geq a$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Recordemos que $[x]$ es la función parte entera, que redondea $x$ al entero más cercano.

Para resolver la desigualdad, consideremos dos casos:

$x\geq n$, donde $n$ es un entero: En este caso, $[x]=n$, por lo que la desigualdad se reduce a $41n^2-8n-43\geq a$.

$x<n$, donde $n$ es un entero: En este caso, $[x]=n-1$, por lo que la desigualdad se reduce a $41(n-1)^2-8(n-1)-43\geq a$.

Ahora podemos considerar la primera condición. Observemos que la función $f(x)$ es continua en todo $x$ donde $f(x)=a$, ya que en ese caso $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)=a$. Por lo tanto, el único punto en el que debemos preocuparnos por la continuidad es en los puntos donde $f(x)$ cambia de valor.

Si $f(x)$ cambia de valor de $a$ a $41[x]^2-8[x]-43$ en $x=b$, entonces $\lim_{x\to b^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)=a$. Por lo tanto, debemos tener $a=41[b]^2-8[b]-43$.

En resumen, para que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$, debemos tener:

$41n^2-8n-43\geq a$ para todo $n\in\mathbb{Z}$
$41(n-1)^2-8(n-1)-43\geq a$ para todo $n\in\mathbb{Z}$
$a=41[b]^2-8[b]-43$ para todo $b\in\mathbb{R}$ donde $f(x)$ cambia de valor de $a$ a $41[x]^2-8[x]-43$
El mayor valor de $a$ que cumple estas condiciones es el menor valor de $a$ que cumple las desigualdades anteriores.

y a ti te falta obo