I2 Teoría de la Integración

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I2 Teoría de la Integración, 1S 2012

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2012, 01:14 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Interrogación 2 de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.5cm}<br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de funciones crecientes medibles definidas sobre el intervalo $]a,b[$. Probar que si $f_n$ converge en medida de Lebesgue hacia $f$, entonces $f_n(x)\to f(x)$ en cada punto $x\in]a,b[$ en que $f$ sea continua.<br /><br />\item \textbf{Ejercicio.} Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función<br /><br />\begin{center}<br />$t\mapsto F(t) = \displaystyle\int_0^\infty \frac{e^{-tx^2}}{1+x^2}dx$<br />\end{center}<br /><br />Deducir la relación<br /><br />\begin{center}<br />$F'-F = \displaystyle -\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}$<br />\end{center}<br /><br />y usarla para probar que $F(t)$ se escribe en la forma<br /><br />\begin{center}<br />$F(t) = \displaystyle \frac{\pi}{2}e^t\left(1-\Theta(\sqrt{t})\right)$, <br />\end{center}<br /><br />donde <br /><br />\begin{center}<br />$\Theta(t) = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^t e^{-s^2}ds$<br />\end{center}<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$ $TEX: <br /><br />3. \textbf{Problema.} Sea $0<r<1$. Se define el núcleo de Poisson en la forma<br /><br />\begin{center}<br />$P_r(\theta) = 1+\displaystyle 2\sum_{n=1}^\infty r^n\cos(n\theta) = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}$<br />\end{center}<br /><br />(a) Probar que $r^2+(1-2r)\cos\theta\ge 0$ si $0\le \theta\le \pi$ y $\displaystyle \frac{1}{2}\le r\le 1$. Deducir que<br /><br />\begin{center} <br />$\displaystyle \theta^2P_r(\theta) \le \frac{(1-r^2)\theta^2}{1-\cos\theta}$,<br />\end{center}<br /><br />y evaluar el límite<br /><br />\begin{center} <br />$\displaystyle\lim_{r\to 1}\int_0^\pi\theta^2P_r(\theta)d\theta \ (1)$<br />\end{center}<br /><br />(b) Probar que<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\int_0^\infty \theta^2P_r(\theta)d\theta = \frac{\pi^3}{3}+4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{(-r)^n}{n^2}$,<br />\end{center}<br /><br />y usar ese resultado para encontrar otra expresión para el límite $(1)$.<br /><br />© Usar los resultados anteriores para encontrar las sumas de las series siguientes:<br /><br />(i) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$\\<br />(ii) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$\\<br />(iii) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$<br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)