Sumatorias Simétricas y Muirhead - Foro fmat.cl

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Sumatorias Simétricas y Muirhead, También llamado Polinomios Simétricos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2007, 09:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Polinomios Sim\'etricos}:$ $TEX: Consideraremos polinomios en $n$ variables $x_1,x_2,...,x_n$ y usaremos la abreviaci\'on $p(x)$ para denotar $p(x_1,x_2,...,x_n)$.$ $TEX: Diremos que una permutaci\'on $w$ es una funci\'on biyectiva del conjunto $\{1,2,...,n\}$ sobre si mismo. Hay $n!$ permutaciones. Escribiremos $w\cdot x$ para denotar una permutaci\'on de $x$, es decir $x_{w(1)},x_{w(2)},...,x_{w(n)}$.$ $TEX: {\bf Definici\'on:} Un polinomio $p(x)$ es llamado sim\'etrico si y solo si $p(x)=p(w\cdot x)$ para alguna permutaci\'on $w$.$ $TEX: Por ejemplo para $n=3$, el polinomio $p(x)=x_1+x_2+x_3$ es sim\'etrico, ya que tomando tres valores y aplicando el polinomio a una permutaci\'on de ellos me da el mismo resultado: $p(-11,8,0)=-11+8+0=0+-11+8=p(0,-11,8)$. En cambio el polinomio $q(x)=x_1+x_2+x_3x_1$ no es sim\'etrico ya que $q(1,2,3)\neq q(2,1,3)$.$ $TEX: Otro ejemplo es el polinomio $p(x)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$; notemos que $p(x_2,x_1,x_3)=x_2x_1+x_1x_3+x_3x_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=p(x_1,x_2,x_3)$. Pero el polinomio $q(x)=x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1$ no es sim\'etrico ya que $q(1,3,-1)\neq q(1,-1,3)$; pero si tomamos el polinomio $q_2(x)=x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_3^2x_1+x_3x_1^2$ notaremos que si es sim\'etrico.$ $TEX: {\bf Polinomios Sim\'etricos Monomiales:} Llamemos $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n).$$ $TEX: {\bf Definici\'on:} El polinomio sim\'etrico monomial $m_{\lambda}$ es la suma del monomio $x_1^{\lambda_1}...x_n^{\lambda_n}$ y todos los otros monomios obtenidos al permutar $\lambda$$ $TEX: Por ejemplo, si $\lambda=(2,1,1)$ entonces $m_{\lambda}=x_1^2x_2x_3+x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2=2(x_1^2x_2x_3+x<br />_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2)$. Notese que al ser permutaciones de un tr\'io $ordenado$ se consideran a los unos como elementos distintos, ya que tambi\'en importa el orden.$ $TEX: Tambi\'en volviendo al ejemplo del polinomio $q_2(x)$ notamos que $q_2(x)=m_{\lambda}$ con $\lambda=(2,1,0)$ , y de aqu\'i se hace notar que el polinomio $q(x)=x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1$ no es sim\'etrico ya que faltan permutaciones.$ $TEX: {\bf Notaci\'on:} Si $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$$ $TEX: $\boxed{m_{\lambda}=\displaystyle\sum_{sym}x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}...x_n^{\lambda_n}}$$ Archivo(s) Adjunto(s) sym.pdf ( 76.79k ) Número de descargas: 169

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2007, 11:24 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Desigualdad de Muirhead:}$ $TEX: Si tenemos los vectores $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$ y $\mu=(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$ con $\lambda_1\ge...\ge\lambda_n$ y $\mu_1\ge...\ge\mu_n$; que cumplen $\lambda_1+...+\lambda_n=\mu_1+...+\mu_n$ y adem\'as $\forall$ $i\in\{1,...,n-1\}$ se cumple $\lambda_1+...+\lambda_i\ge \mu_1+...+\mu_i$. Entonces:$ $TEX: $\boxed{m_{\lambda}\ge m_{\mu}}$$ $TEX: Ocurriendo la igualdad cuando $x_1=x_2=...=x_n$$ $TEX: Ya que esta desigualdad suele quedar m\'as clara con ejemplos, pondre un par de ejemplos muy simples que son conocidos y son aplicaci\'on directa de Muirhead:$ $TEX: Por ejemplo, si tomamos $\lambda=(2,0,0)$ y $\mu=(1,1,0)$ obtenemos:$ $TEX: $2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx)$$ $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ $TEX: Si tomamos $\lambda=(1,0,-1)$ y $\mu=(0,0,0)$:$ $TEX: $\dfrac{x}{z}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\ge 1+1+1+1+1+1$$ $TEX: $\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}\ge 6$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2007, 11:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Ejemplo 1:}$ $TEX: Sean $a,b,c>0$; demuestre que:$ $TEX: $2(a^3+b^3+c^3)+3abc\ge (ab+bc+ca)(a+b+c)\ge 9abc$$ $TEX: {\bf Soluci\'on:}$ $TEX: Si tomamos $\lambda=(3,0,0)$ y $\mu=(2,1,0)$:$ $TEX: $2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$$ $TEX: $2(a^3+b^3+c^3)\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$ $TEX: $\boxed{2(a^3+b^3+c^3)+3abc\ge(ab+bc+ca)(a+b+c)}$$ $TEX: Ahora tomando $\lambda=(1,1,0)$ y $\mu=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$$ $TEX: $2(ab+bc+ca)\ge 6\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$ $TEX: $ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$ $TEX: Y si tomamos $\lambda=(1,0,0)$ y $\mu=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$:$ $TEX: $2(a+b+c)\ge 6\sqrt[3]{abc}$$ $TEX: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$ $TEX: Multiplicando:$ $TEX: $\boxed{(ab+bc+ca)(a+b+c)\ge 9abc}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2007, 11:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Ejemplo 2:}$ $TEX: Sean $a_1,a_2,...,a_n\ge 0$. Demuestre que:$ $TEX: $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$ $TEX: {\bf Soluci\'on:}$ $TEX: Tomando $\lambda=(1,0,...,0)$ y $\mu=(\frac{1}{n},\frac{1}{n},...,\frac{1}{n})$:$ $TEX: $(n-1)!(a_1+a_2+...+a_n)\ge n!\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$ $TEX: $\boxed{\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2007, 02:40 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Ejemplo 3:}$ $TEX: Si $a,b,c>0$ pruebe que:$ $TEX: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le \dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}$$ IMO ShotList 1967 $TEX: {Soluci\'on:}$ $TEX: Aplicando Muirhead para los vectores $\lambda=(8,0,0)$ y $\mu=(3,3,2)$:$ $TEX: $2(a^3b^3c^2+b^3c^3a^2+c^3a^3b^2)\le 2(a^8+b^8+c^8)$$ $TEX: $\boxed{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le \dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2007, 02:57 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: {\bf Ejemplo 4:}$ $TEX: Si $x_i>0$ y $n,k\in\mathbb{N}$. Demuestre que:$ $TEX: $\displaystyle\prod_{i=1}^kx_i\displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n-1}\le \displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n+k-1}$$ IMO ShortList 1967 $TEX: {Soluci\'on:}$ $TEX: Aplicando Muirhead a los vectores $\lambda=(n+k-1,0,0,...,0)$ y $\mu=(n,1,1,...,1)$:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{sym}x_1^{n}x_2...x_k\le \displaystyle\sum_{sym}x_1^{n+k-1}$$ $TEX: $\displaystyle\prod_{i=1}^kx_i\displaystyle\sum_{sym}x_1^{n-1}\le \displaystyle\sum_{sym}x_1^{n+k-1}$$ $TEX: $\left(\displaystyle\prod_{i=1}^kx_i\right)(k-1)!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n-1}\right)\le (k-1)!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n+k-1}\right)$$ $TEX: $\boxed{\displaystyle\prod_{i=1}^kx_i\displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n-1}\le \displaystyle\sum_{i=1}^kx_i^{n+k-1}}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 16 2007, 04:54 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Acá les dejo un PDF que hizo Krizalid sobre el tema, para los que quieran bajarlo: sym.pdf ( 76.79k ) Número de descargas: 151 Saludos

mp11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 16 2007, 06:01 PM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 8-March 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.388 Nacionalidad: Sexo:	El material esta muy bueno. Bien estaria presentar una prueba elementar (no quiero decir facil) o bien una referencia de donde se puede encontrar tal prueba. -------------------- MP11 www.math.u-psud.fr/~ponce

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 16 2007, 09:27 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Acá está una referencia sobre la demostración del teorema, aunque está en inglés (lo que no debería ser impedimento para leerlo): http://mcraefamily.com/MathHelp/BasicNumbe...sInequality.htm

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2011, 01:46 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	se agradece andaba buscando algo como esto.

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