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PEP I 2009 Matemáticas IV

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2012, 10:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent <br />Profesor: Claudio del Pino<br />\begin{center}<br />Ingeniería comercial (Mención economía)\\<br />Matemáticas IV\\<br />Primera prueba Parcial<br />\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcula el límite al cuál convergen las sucesiones:\\<br />\\<br />a)$\left\{\left(\dfrac{2n+3}{2n-1}\right)^{3n-1}\right\}$\\<br />\\<br />b)$\left\{\dfrac{4 \cdot 2^n+6 \cdot 3^n +8}{5-7 \cdot 2^n+5 \cdot 3^n}\right\}$\\<br />\item a)Por análisis del término general analice si la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}}$ es divergente o puede converger.\\<br />b)Expresar el número decimal 3,722...(2) como una serie y determinar su suma.<br />\item a) Utilice el criterio de la raíz de cauchy para analizar la convergencia o divergencia de la serie:\\<br />\\<br />$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{3n} \cdot \dfrac{1}{3n}$\\<br />\\<br />b)Por el criterio de Raab analice la convergencia o divergencia de la serie:\\<br />\\<br />$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot (2n+3)}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10 \cdot ... \cdot (3n+1)}$\\<br />\item Dada la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n log(n)(log(log(n)))^p}$ donde p es una constante positiva. Determinar para que valores de p la serie converge y para cuales diverge.<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- and User

manzanin	Nov 24 2012, 10:23 PM Publicado: #2
Invitado	Vamos con la P1.a) Veamos que: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)^{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{2n\left( 1+\frac{3/2}{n} \right)}{2n\left( 1-\frac{1/2}{n} \right)} \right]^{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\left( 1+\frac{3/2}{n} \right)}{\left( 1-\frac{1/2}{n} \right)} \right]^{3n-1}$$$ Sin embargo: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{3/2}{n} \right)^{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+\frac{3/2}{n} \right)^{3n}}{\left( 1+\frac{3/2}{n} \right)}=e^{{}^{9}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$$$ $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{1/2}{n} \right)^{3n-1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\frac{1/2}{n} \right)^{3n}}{\left( 1-\frac{1/2}{n} \right)}=e^{{}^{-3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}$$$ Entonces: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)^{3n-1}=\frac{e^{{}^{9}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}{e^{{}^{-3}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}=e^{6}$$$

manzanin	Nov 24 2012, 11:00 PM Publicado: #3
Invitado	P2.b) Notar que: $TEX: $$3,722...=3,7+0,02+0,002+...$$$ Lo anterior se puede expresar como: $TEX: $$3,7+2\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\left( \frac{1}{10} \right)}^{k}$$$ La serie de la derecha es geométrica, luego: $TEX: $$\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\left( \frac{1}{10} \right)}^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left( \frac{1}{10} \right)^{k}-1-\frac{1}{10}=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}}-1-\frac{1}{10}=\frac{1}{90}$$$ Entonces: $TEX: $$3,722...=\frac{37}{10}+\frac{2}{90}=\frac{67}{18}$$$ Mensaje modificado por manzanin el Nov 24 2012, 11:01 PM

Exorcista Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2012, 11:12 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 53 Registrado: 22-November 12 Miembro Nº: 113.254 Colegio/Liceo: Universidad:	Increible como han cambiado las cosas, ahora en ingenieria tiran puros ''quesos'', antes hasta a los del tecno los hacian c.agar

manzanin	Nov 24 2012, 11:18 PM Publicado: #5
Invitado	3.b) Estaba viendo que no tiene sentido usar el criterio de Raabe, ya que, si no me equivoco: $TEX: $$\underset { n-\infty }{ lim } \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\frac { 2 }{ 3 }$$$ Luego, la serie seria claramente convergente y usar Raabe sería una tontera. Mensaje modificado por manzanin el Nov 24 2012, 11:22 PM

manzanin	Nov 25 2012, 12:23 AM Publicado: #6
Invitado	P2.a) Recordemos que si una serie converge, entonces $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,a_{n}=0$$$ . Luego, la contrarecíproca nos dice que si $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,a_{n}\ne 0$$$ entonces la serie diverge. Veamos que: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}}\cdot \frac{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{\sqrt{n}}\;}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{\sqrt{n}}\;}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1\ne 0$$$ Entonces, la serie diverge.

manzanin	Nov 25 2012, 02:18 PM Publicado: #7
Invitado	P1.b) $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4\cdot 2^{n}+6\cdot 3^{n}+8}{5-7\cdot 2^{n}+5\cdot 3^{n}}\cdot \frac{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{3^{n}}\;}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{3^{n}}\;}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4\cdot \frac{2^{n}}{3^{n}}+6\cdot \frac{3^{n}}{3^{n}}+\frac{8}{3^{n}}}{\frac{5}{3^{n}}-7\cdot \frac{2^{n}}{3^{n}}+5\cdot \frac{3^{n}}{3^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4\cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n}+6+\frac{8}{3^{n}}}{\frac{5}{3^{n}}-7\cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n}+5}=\frac{6}{5}$$$

manzanin	Nov 25 2012, 03:10 PM Publicado: #8
Invitado	P4) Del criterio de condensación de Cauchy, $TEX: $$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}}$$$ es convergente si $TEX: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty }{2^{k}a_{2^{k}}}$$$ es convergente. Entonces $TEX: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty }{2^{k}\cdot \frac{1}{2^{k}\log (2^{k})(\log (\log (2^{k})))^{p}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{1}{k\log (2)(\log (k\log (2)))^{p}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{1}{k\log (2)\left[ \log (k)+\log (\log (2)) \right]^{p}}}$$$ Vemos, sin embargo, que cuando n es muy grande, log(k) se come a log(log(2)). Así $TEX: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{1}{k\log (2)\left[ \log (k)+\log (\log (2)) \right]^{p}}}\approx \frac{1}{\log (2)}\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{1}{k\left( \log k \right)^{p}}}$$$ Notemos ahora que: $TEX: $$\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{k\log (k)}{(k+1)\left( \log (k+1) \right)^{p}}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\log (k)}{\left( \log (k+1) \right)^{p}}$$$ Esta última cuestión es <1 si p>1. Luego para que la serie original converja, p>1. Espero esté bien. Mensaje modificado por manzanin el Nov 25 2012, 03:11 PM

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