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Segunda OIFMAT

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2012, 08:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Damas y caballeros, con ustedes la tan ansiada prueba. 2ª OLIMPIADA INTERNA FMAT www.fmat.cl, 2012 Primer Exámen: 01 de Mayo, 2012. $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 1$}$ Una circunferencia es dividida en $TEX: $n$$ partes iguales. Marceline se dispone a asignarle números enteros desde $TEX: $1$$ hasta $TEX: $n$$ a cada una de estas piezas de manera que la distancia entre dos números consecutivos es siempre la misma. Los números $TEX: $887$$ , $TEX: $217$$ y $TEX: $1556$$ ocupan posiciones consecutivas. ¿En cuántas partes fue dividida la circunferencia? $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 2$}$ Encuentre todas las funciones $TEX: $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$ tales que: $TEX: $f(m)=1 \iff m=1$$ ; Si $TEX: $d=\gcd(m,n)$$ , entonces $TEX: $f(mn)=\dfrac{f(m)f(n)}{f(d)}$$ ; y $TEX: $\forall m \in \mathbb{N}$,$ tenemos que $TEX: $f^{2012}(m)=m$$ . $TEX: Aclaración:$ $TEX: $f^{n}(a)=f(f^{n-1}(a))$$ $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 3$}$ En el interior de un triángulo equilátero $TEX: $ABC$$ se escoge un punto $TEX: $P$$ tal que $TEX: $PA^2=PB^2+PC^2$$ . Determine justificadamente el valor de $TEX: $\measuredangle BPC$$ . $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 4$}$ Dado un $TEX: $\triangle ABC$$ con $TEX: $AB > AC$$ y $TEX: $\angle BAC =60°$$ . Denote el circuncentro y el ortocentro como $TEX: $O$$ y $TEX: $H$$ respectivamente. Se tiene además que $TEX: $OH$$ intersecta a $TEX: $AB$$ en $TEX: $P$$ y a $TEX: $AC$$ en $TEX: $Q$$ . Pruebe que $TEX: $PO=HQ$$ . $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 5$}$ Sea $TEX: $n\in \mathbb {N}$$ . Definamos $TEX: $S_n=\{1,...,n\}$$ . Sean $TEX: $x_1<x_2<\cdots x_n$$ reales cualesquiera. Determine la mayor cantidad posible de pares $TEX: $(i,j)\in S_n\times S_n$$ con $TEX: $i\not=j$$ , para los cuales se cumple que $TEX: $1<\|x_i-x_j\|<2$$ y justifique por qué dicho valor no puede ser mayor. $TEX: Cada problema vale 10 puntos.$ *Duración:* Tienen 7 días para entregar sus soluciones (hasta el 8 de mayo a las 23:59 hrs de ese día). Están serán entregadas al mail xx_byxmakiinax@live.cl o al usuario makmat ordenadas en formato .pdf o word o Latex, como lo prefieran. Soluciones geométricas deben tener figura. Éxito y bendiciones. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2012, 12:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estimados Aprendices de Euler... lamentablemente para mí, estas 3 semanas han sido brutales por la cantidad de informes, exámenes, etc que he tenido que realizar. Les informo que ya tengo corregidas sus pruebas... Los puntajes no se publicarán hasta termiandas todas las etapas de la OIFMAT 2012. Pero si quieren saber sus puntajes, a cada uno de los participantes les enviaré sus resultados personalmente, lo que prometo haré el viernes después de las 17:00 hrs (al fin desocupado !!!) Hasta pronto. Dios los bendiga. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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