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Control 2 / Otoño 2012, Funciones :)

Mauricio Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 16 2012, 06:34 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 18-May 11 Miembro Nº: 88.919 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1. Sean A, B, B, D conjuntos no vacios tales que $TEX: $A\cap C=\varnothing $$ y $TEX: $B\cap D=\varnothing $$ y sean $TEX: $f:A\to B$$ y $TEX: $g:C\to D$$ dos funciones. Se define $TEX: $h:(A\cup C)\to (B\cup D)$$ tal que, $TEX: $\forall x\in (A\cup C)$$ $TEX: $h(x)=\mathop{\mathop{\{}_{g(x),si:x\in C}^{f(x),si:x\in A}}_{{}}^{{}}$$ i) Demuestre que si f, g son inyectivas, entonces h es inyectiva. ii) Demuestre que si f, g son sobreyectivas, entonces h es sobreyectiva. iii) Si f, g son biyectivas, demuestre que h es biyectiva y encuentre su inversa. Justifique su respuesta. P2) Sea $TEX: $E\ne \varnothing $$ un conjunto cualquiera y $TEX: $A\subseteq E$$ con $TEX: $A\ne \varnothing $$ . Se define $TEX: $f:P(E)\to P(E)$$ $TEX: $X\to f(X)=X\backslash A$$ $TEX: $g:P(E)\to P(E)$$ $TEX: $X\to f(X)=X\cup A$$ i) Demuestre que $TEX: $f\circ g=f$$ y que $TEX: $g\circ f=g$$ ii) Demuestre que $TEX: $f^{-1}(\{\varnothing \})=P(A)$$ iii) Demuestre que $TEX: $\forall x\in P(E),f(X)\ne A$$ Saludos atte. --------------------

John Abruzzi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2013, 04:09 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 33 Registrado: 4-August 08 Miembro Nº: 31.437 Colegio/Liceo:	P1 i) Si f es inyectiva, implica para cada elemento en B existe un unico elemento en A Si g es inyectiva, implica para cada elemento en D existe un unico elemento en C Por definicion de h(x) si $TEX: $x \in A$$ es f(x) y si $TEX: $x\in C$$ es g(x) como A y C son disjuntos entonces a cada uno le corresponde solo un elemento en B y D respectivamente,cumpliendose que h sea inyectiva. ii) si f es sobre, implica que todos los elementos de B tienen pre-imagen en A si g es sobre, implica que todos los elementos de D tienen pre-imagen en C por definicion de h(x) y tanto Ay C como B y D ser disjuntos, todos los elementos de $TEX: $B\cup D$$ tienen elementos en $TEX: $A\cup C$$ cumpliendose la sobreyectividad No se si este bien, si alguien lo corrobora seria genial y perdon por no usar tanto lenguaje matematico xD -------------------- Admisión 2013 Generación 2012 me gusta la química

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2013, 05:16 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaadofacaWGqbGaaGOmaiaac6cacaWGHbaaaaqaaiaabofacaqG<br />% LbGaaeyyaiaabccacaWGybGaeyicI4SaamiuaiaacIcacaWGfbGaai<br />% ykaiaac6caaeaadaqadaqaaiaadAgacqWIyiYBcaWGNbaacaGLOaGa<br />% ayzkaaGaaiikaiaadIfacaGGPaGaeyypa0JaamOzaiaacIcacaWGNb<br />% GaaiikaiaadIfacaGGPaGaaiykaiabg2da9iaadAgacaGGOaGaamiw<br />% aiabgQIiilaadgeacaGGPaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWGybGaeyOkIG<br />% SaamyqaaGaayjkaiaawMcaaiaacYfacaWGbbGaeyypa0ZaaeWaaeaa<br />% caWGybGaeyOkIGSaamyqaaGaayjkaiaawMcaaiabgMIihlaadgeada<br />% ahaaWcbeqaaiaadogaaaGccqGH9aqpdaqadaqaaiaadIfacqGHPiYX<br />% caWGbbWaaWbaaSqabeaacaWGJbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0<br />% JaamOzaiaacIcacaWGybGaaiykaaqaaiaacIcacaWGNbGaeSigI8Ma<br />% amOzaiaacMcacaGGOaGaamiwaiaacMcacqGH9aqpcaWGNbGaaiikai<br />% aadAgacaGGOaGaamiwaiaacMcacaGGPaGaeyypa0Jaam4zaiaacIca<br />% caWGybGaeyykICSaamyqamaaCaaaleqabaGaam4yaaaakiaacMcacq<br />% GH9aqpdaqadaqaaiaadIfacqGHPiYXcaWGbbWaaWbaaSqabeaacaWG<br />% JbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyOkIGSaamyqaiabg2da9iaadIfacq<br />% GHQicYcaWGbbGaeyypa0Jaam4zaiaacIcacaWGybGaaiykaaqaaaqa<br />% amaaL4babaGaam4uaiaadcfacaaIYaGaaiOlaiaadkgaaaaabaGaae<br />% Otaiaab+gacaqG0bGaaeyyaiaabkhacaqGGaGaaeyCaiaabwhacaqG<br />% LbGaaeiiaiaadcfacaGGOaGaamyqaiaacMcacqGHPiYXcaWGbbWaaW<br />% baaSqabeaacaWGJbaaaOGaeyypa0Jaeqy1dyMaaeiiaiaabYcacaqG<br />% GaGaaeiBaiaabwhacaqGLbGaae4zaiaab+gacaqGGaGaeyybIySaey<br />% ypa0JaamiuaiaacIcacaWGbbGaaiykaiabgMIihlaadgeadaahaaWc<br />% beqaaiaadogaaaGccqGH9aqpcaWGMbGaaiikaiaadcfacaGGOaGaam<br />% yqaiaacMcacaGGPaGaeyO0H4TaamOzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0Ia<br />% aGymaaaakmaabmaabaWaaiWaaeaacqGHfiIXaiaawUhacaGL9baaai<br />% aawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaWGqbGaaiikaiaadgeacaGGPaaaaaa!D4C0!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{SP2.a} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}X \in P(E). \hfill \\<br /> \left( {f \circ g} \right)(X) = f(g(X)) = f(X \cup A) = \left( {X \cup A} \right)\backslash A = \left( {X \cup A} \right) \cap A^c = \left( {X \cap A^c } \right) = f(X) \hfill \\<br /> (g \circ f)(X) = g(f(X)) = g(X \cap A^c ) = \left( {X \cap A^c } \right) \cup A = X \cup A = g(X) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{SP2.b} \hfill \\<br /> {\text{Notar que }}P(A) \cap A^c = \emptyset {\text{ }}{\text{, luego }}\emptyset = P(A) \cap A^c = f(P(A)) \Rightarrow f^{ - 1} \left( {\left\{ \emptyset \right\}} \right) = P(A) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2013, 06:17 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(John Abruzzi @ Jan 28 2013, 08:09 PM) P1 i) Si f es inyectiva, implica para cada elemento en B existe un unico elemento en A Si g es inyectiva, implica para cada elemento en D existe un unico elemento en C Por definicion de h(x) si $TEX: $x \in A$$ es f(x) y si $TEX: $x\in C$$ es g(x) como A y C son disjuntos entonces a cada uno le corresponde solo un elemento en B y D respectivamente,cumpliendose que h sea inyectiva. ii) si f es sobre, implica que todos los elementos de B tienen pre-imagen en A si g es sobre, implica que todos los elementos de D tienen pre-imagen en C por definicion de h(x) y tanto Ay C como B y D ser disjuntos, todos los elementos de $TEX: $B\cup D$$ tienen elementos en $TEX: $A\cup C$$ cumpliendose la sobreyectividad No se si este bien, si alguien lo corrobora seria genial y perdon por no usar tanto lenguaje matematico xD Si está bien la idea... Un poco más corto: i) Tome un x en el dominio de h, luego como h va de (A U C) entonces x puede estar en A o en C. Suponga que x está en A, por tanto estaremos trabajando con f y como f es inyectiva, entonces h(x) con x en A también lo será. La misma idea si x está en C.. por tanto h(x) es inyectiva para cualquier x en el dominio. ii) Sea y en (B U D) entonces y puede estar en B o en D. Si y está en B entonces dada la sobreyectividad de f se sigue que existe un x en A tal que f(x)=y... si y está en D se sigue que existe un x en C tal que g(x)=y por la sobreyectividad de g. Luego para cualquier y en (B U D) se tiene un x en (A U B) tal que h(x)=y por lo que h es sobre. iii) Si f,g son biyectivas, entonces se tiene que f,g son inyectivas y epiyectivas, por los puntos anteriores se concluye que h es inyectiva y sobre, por lo que h es biyectiva. Si tomo un "y" en B me devuelvo mediante f^-1 y si tomo un "y" en D me devuelvo mediante g^-1 por lo que su inversa es: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAamaaCa<br />% aaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da<br />% 9maaceaaeaqabeaacaWGMbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaO<br />% GaaiikaiaadIhacaGGPaGaaeiiaiaabccacaqGZbGaaeyAaiaabcca<br />% caWG4bGaeyicI4SaamOqaaqaaiaadEgadaahaaWcbeqaaiabgkHiTi<br />% aaigdaaaGccaGGOaGaamiEaiaacMcacaqGGaGaaeiiaiaabohacaqG<br />% PbGaaeiiaiaadIhacqGHiiIZcaWGebaaaiaawUhaaaaa!559F!<br />\[<br />h^{ - 1} (x) = \left\{ \begin{gathered}<br /> f^{ - 1} (x){\text{ si }}x \in B \hfill \\<br /> g^{ - 1} (x){\text{ si }}x \in D \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.<br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

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