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Control I, Ruth Gonzalez

Dono Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2012, 02:14 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 106 Registrado: 26-March 10 Desde: In a Somewhere Back in time Miembro Nº: 67.221 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CONTROL N°1 ECUACIONES DIFERENCIALES . 1.-Considere la ecuacion diferencial $TEX: $2[3y + 2y^3+3x^4sen(x)]dx - 3x[x^2+1+2y^2]dy=0$$ Usando factor integrante encuentre su solución general implícita 2.-Considere la ecuación diferencial $TEX: $y'+2(1-x)y-y^2=x(x-2)$$ a)Determine la solución general sabiendo que $TEX: $y_1(x)=1-x$$ es una solución particular de ella b)Determine la solución particular que pasa por el punto $TEX: $(2,2)$$ y el intervalo máximo donde está definida Esto es uno de mis primeros y pequeños aportes al foro,ire subiendo tambien evaluaciones de calculo avanzado Saludos y que alguien se anime a responder ya que dificles no son. -------------------- "No son los mas aptos ni los mas inteligentes los que sobreviven sino los que se adaptan mejor a los cambios".C.Darwin

relampago Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2012, 02:33 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 347 Registrado: 3-November 07 Desde: puente asalto Miembro Nº: 12.174 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	interesante.. intentare hacerlo oie a todo esto quien t hace ecuaciones? --------------------

Dono Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 16 2012, 06:32 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 106 Registrado: 26-March 10 Desde: In a Somewhere Back in time Miembro Nº: 67.221 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	con la ruth gonzalez,lo puse abajo del tema -------------------- "No son los mas aptos ni los mas inteligentes los que sobreviven sino los que se adaptan mejor a los cambios".C.Darwin

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 29 2013, 01:05 AM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion 1 Consideremos, para la E.D.O. : $TEX: $$\left\{\begin{matrix}<br />M(x,y)=2\left ( 3y+2y^{3}+3x^{4}\sin(x) \right )\\ N(x,y)=-3x\left ( x^{2}+1+2y^{2} \right )<br />\end{matrix}\right.$$$ Con lo que: $TEX: $$\left\{\begin{matrix}<br />\frac{\partial M }{\partial y}(x,y)=6+12y^{2}\\\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)=-9x^{2}-3-6y^{2} <br />\end{matrix}\right.$$$ Y es claro que : $TEX: $$\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)\neq \frac{\partial N}{\partial x}(x,y)$$$ Y la ecuación no es exacta. Ahora para buscar un factor integrante, véase que: $TEX: $$\frac{1}{N(x,y)}\left ( \frac{\partial M}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial N}{\partial x} (x,y)\right )=\frac{1}{-3\left ( x^{3} +x+2xy^{2}\right )}\left ( 6+12y^{2}+9x^{2}+3+6y^{2} \right )$$$ $TEX: $$=\frac{9\left ( x^{2} +1+2y^{2}\right )}{-3x\left ( x^{2} +1+2y^{2}\right )}= - \frac{3}{x}=f(x)$$$ Y el factor integrante sera: $TEX: $$\mu (x)=\exp \left ( \int f(x)dx \right )=\exp \left ( -3\int \frac{dx}{x} \right )=\frac{1}{x^{3}}$$$ Ahora la E.D.O queda de la forma: $TEX: $$\frac{1}{x^{3}}\left (6y+4y^{3}+6x^{4}\sin(x)\right )dx-3\left ( 1+\frac{1}{x^{2}}(1+2y^{2}) \right )dy=0$$$ Que ahora es exacta, y en efecto, Analogamente a lo anterior se consigue que: $TEX: $$\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x^{3}}\left ( 6+12y^{2} \right )=\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}(x,y)\textup{ };x\neq 0$$$ Luego, se puede hablar de una funcion $TEX: $$u(x,y)$$$ tal que $TEX: $$\left\{\begin{matrix}<br />1) \textup{ }\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)= & \widetilde{M}(x,y)\\ <br />2)\textup{ }\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)= & \widetilde{N}(x,y)<br />\end{matrix}\right.$$$ Usando 1) se tiene que: $TEX: $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{x^{3}}\left ( 6y+4y^{3}+6x^{4}\sin(x) \right )=\frac{1}{x^{3}}\left ( 6y+4y^{3} \right )+6x\sin(x)$$$ $TEX: $$\Rightarrow u(x,y)=\left ( 6y+4y^{3} \right )\int x^{-3}dx+6\int x\sin(x)dx+g(y)$$$ Integrando se obtiene que : $TEX: $$u(x,y)=\frac{-1}{2x^{2}}\left ( 6y+4y^{3} \right )+6\left ( \sin(x)-x\cos(x) \right )+g(y)$$$ Pero por 2) $TEX: $$ \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\widetilde{N}(x,y)\Leftrightarrow \frac{\partial \left ( \frac{-1}{2x^{2}}\left ( 6y+4y^{3} \right )+6\left ( \sin(x)-x\cos(x) \right )+g(y) \right )}{\partial y}=-3\left ( 1+\frac{1}{x^{2}}(1+2y^{2}) \right )$$$ $TEX: $$\Rightarrow \frac{-1}{2x^{2}}\left ( 6+12y^{2} \right )+{g}'(y)=-3\left ( 1+\frac{1}{x^{2}}(1+2y^{2}) \right )$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow {g}'(y)=-3\Rightarrow g(y)=-3y$$$ . Con lo que la funcion $TEX: u$ es: $TEX: $$u(x,y)=\frac{-1}{2x^{2}}\left ( 6y+4y^{3} \right )+6\left ( \sin(x)-x\cos(x) \right ) -3y$$$ Y la ecuacion general implicita, satisface la ecuacion: $TEX: $$\frac{-1}{2x^{2}}\left ( 6y+4y^{3} \right )+6\left ( \sin(x)-x\cos(x) \right ) -3y=c\textup{ ; }c\in \mathbb{R}$$$ Saludos... -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 31 2013, 02:07 AM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución 2. Parte a. La E.D.O $TEX: $${y}'+2(1-x)y-y^{2}=x(x-2)$$$ Se puede reescribir asi: $TEX: $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y^{2}-2(1-x)y+x(x-2)$$$ , que es claramente una ecuación de Ricatti. Y por tanto la solución de la ecuación es de la forma $TEX: $$y(x)=y_{1}(x)+\frac{1}{v(x)}$$$ , en que la función $TEX: $$v(x)$$$ satisface cierta ecuación diferencial lineal. Por notación en este problema se considerara $TEX: $$v(x)=v$$$ Aprovechando la relación anterior, y reemplazando la solución particular dada, se obtiene: $TEX: $$y(x)=(1-x)+\frac{1}{v} \textup{ }()$$$ $TEX: $$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-1-\frac{1}{v^{2}}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\textup{ }()$$$ Sustituyendo $TEX: $$(), ()$$$ respectivamente en la E.D.O: $TEX: $$-1-\frac{1}{v^{2}}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=\left ( (1-x)+\frac{1}{v} \right )^{2}-2(1-x)\left ( (1-x)+\frac{1}{v}\right ) +x(x-2)$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow -1-\frac{1}{v^{2}}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-(1-x)^{2}+\frac{1}<br />{v^{2}}+x(x-2)$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow -\frac{1}{v^{2}}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=1-(1-x)^{2}+\frac{1}<br />{v^{2}}+x(x-2)$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-v^{2}+v^{2}-2xv^{2}+v^{2}x^{2}-1-v^{2}x^{2}+2xv^{2}$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-1$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow v(x)=-x+c$$$ $TEX: $$\therefore y(x)=(1-x)+\frac{1}{c-x}\textup{ ; }c\in \mathbb{R}$$$ es la solucion general de la E.D.O. Parte b.** Se busca la solución particular que satisface el punto $TEX: $$(x_{0},y_{0})=(2,2)$$$ , o bien $TEX: $$y(2)=2$$$ Entonces, imponiendo condiciones: $TEX: $$y(2)=(1-(2))+\frac{1}{c-(2)}=2$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow \frac{1}{c-2}=3$$$ $TEX: $$\Leftrightarrow c=\frac{7}{3}$$$ Con lo que la solución particular que satisface la condición es : $TEX: $$y_{p}(x)=(1-x)+\displaystyle\frac{1}{\frac{7}{3}-x}$$$ Con $TEX: $$x\in\textup{ } ]-\infty , \frac{7}{3}[\textup{ }\cup \textup{ }]\frac{7}{3},+\infty[$$$ , pero como $TEX: $$x_{0}=2\in\textup{ } ]-\infty,\frac{7}{3}[$$$ , entonces $TEX: $$]-\infty,\frac{7}{3}[$$$ es el intervalo pedido. Saludos... -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

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