 Sencillita, no les recuerda otra desigualdad... Resuelto por caf_tito [básico] |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector Olímpico > Desigualdades > Problemas Resueltos  |
 Apr 6 2007, 03:27 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad: .png) Sexo:   |
  Saludos 
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Jun 9 2007, 10:27 PM
Publicado:
#2
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 Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad:  Sexo: |
Por Cauchy:
 \ge 25$](./tex/1181446034.gif)    Por MA  MG:  
Mensaje modificado por iMPuRe el Jun 9 2007, 10:28 PM -------------------- |
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Jun 10 2007, 12:53 AM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(iMPuRe @ Jun 9 2007, 11:27 PM)  Por MA MG: Aquí hay algo mal. Tu dices que como dicha expresión es mayor o igual a cinco; entonces puedo restarsela a la anterior y obtener lo pedido como si fueran igualdades; pero de ser así, lo que enrealidad haces es sumarle a la primera la siguiente desigualdad:  Lo que de ser cierto, sería equivalente a:  que no es lo mismo que tu planteas. A modo de ayuda, trata de resolver esta desigualdad solo aplicando las medias MA-MH, y luego, trata de resolver este problemita Saludos 
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Feb 5 2008, 06:30 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sin perdida de generalidad}}{\text{, supongamos }}a \geqslant b \geqslant c \geqslant d \geqslant e \hfill \\<br /> {\text{Entonces por reordenamiento}} \hfill \\<br /> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geqslant ab + bc + cd + de + ae \hfill \\<br /> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \geqslant ac + bd + ce + ad + be \hfill \\<br /> {\text{Sumando ambas desigualdades}} \hfill \\<br /> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2 + 2e^2 \geqslant ab + ac + bc + bd + cd + ce + de + ad + ae + be \hfill \\<br /> \frac{{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 }}<br />{{ab + ac + bc + bd + cd + ce + de + ad + ae + be}} \geqslant \frac{1}<br />{2}/ + 2 \hfill \\<br /> \frac{{\left( {a + b + c + d + e} \right)^2 }}<br />{{ab + ac + bc + bd + cd + ce + de + ad + ae + be}} \geqslant \frac{5}<br />{2}{\text{ }}\left( {\text{1}} \right) \hfill \\<br /> {\text{Por Cauchy - Shwarz - Bunyakowsky}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{ciclica} {\frac{{a^2 }}<br />{{ab + ac}}} \cdot \sum\limits_{ciclica} {ab + ac} \geqslant \left( {a + b + c + d + e} \right)^2 \hfill \\<br /> \sum\limits_{ciclica} {\frac{{a^2 }}<br />{{ab + ac}}} \geqslant \frac{{\left( {a + b + c + d + e} \right)^2 }}<br />{{\sum\limits_{ciclica} {ab + ac} }}{\text{ }}\left( {\text{2}} \right) \hfill \\<br /> {\text{Por transitividad entre }}\left( {\text{2}} \right){\text{ y }}\left( {\text{1}} \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{ciclica} {\frac{{a^2 }}<br />{{ab + ac}}} \geqslant \frac{5}<br />{2} \hfill \\<br /> \therefore {\text{ }}\sum\limits_{ciclica} {\frac{{a^2 }}<br />{{ab + ac}}} = \sum\limits_{ciclica} {\frac{a}<br />{{b + c}}} \geqslant \frac{5}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/dbd23f62207d5e4ba4c545e0696eac0e.png)
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Feb 10 2008, 06:33 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Muy bien, la solución está correcta, y la pasamos a resueltos.
Saludos 
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