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APMO 2012

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 10 2012, 09:55 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Dado un punto $P$ en el interior del $\triangle ABC$ y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de intersección de $AP$ con el lado $BC$, de $BP$ con el lado $CA$ y de $CP$ con $AB$, respectivamente. Pruebe que el área del triángulo debe ser $6$ si el área de cada triángulo $\triangle PFA$, $\triangle PDB$ y $\triangle PEC$ es igual a $1$.<br />$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} En cada casillero de un tablero de $2012 \times 2012$ se coloca un número real $0\le r \le 1$$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Determine todos los pares $(n,p)$ formados por un entero positivo $n$ y un primo $p$ para los cuales: $\dfrac{n^p+1}{p^n+1}$ es un entero.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Dado un $\triangle ABC$ acutángulo. Denote como $D$ al pie de la línea perpendicular trazada desde $A$ a $BC$, $M$ como el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro del $\triangle ABC$. Sea $E$ el punto de intersección del circuncírculo $\Gamma$ del $\triangle ABC$ y la semirrecta $MH$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $ED$ ($E \not =F$). Pruebe que $\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{AB}{AC}$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Dado un entero positivo $n\ge2$. Pruebe que si los números reales $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ satisfacen ${a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2=n$, entonces:$ $TEX: $\displaystyle \sum_{1\le i < j\le n}\frac{1}{n-a_{i}a_{j}}\le\frac{n}{2}$.$ Solucion: (Pendiente) -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 10 2012, 08:51 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pregunta: ¿Para abordar el problema 3 se usa algo llamado "Lema de Hensel"? -------------------- Me voy, me jui.

Alvaro Yonekura ... Alvaro Yonekura Baeza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2012, 01:12 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 13-January 12 Miembro Nº: 100.161 Colegio/Liceo: Sexo:	Disculpen, no sé adjuntar dibujos y recién aprendí a usar Latex, por lo que recomiendo que dibujen el enunciado del problema 1. Gracias. $TEX: <br /><br />\underline{Solución al Problema 1:}<br /><br />Sean N, L y K los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados AB, BC y AC, respectivamente. Sea (SRQ) el área del triángulo SRQ y denotemos por X, Y, Z a (AEP), (PDC) y (PFB), respectivamente.<br />Notemos que, tomando como base AB, se tiene que $\frac{(ACF)}{(CFB)}$ = $\frac{AF}{BF}$ = $\frac{(APF)}{(PFB)}$ = $\frac{1}{Z}$. Caso análogo tomando como base AC ($\frac{(BEC)}{(BEA)}$ = $\frac{1}{X}$) y BC ($\frac{(ABD)}{(ADC)}$ = $\frac{1}{Y}$).<br />Notemos que $\frac{(ACF)}{(CFB)}$ = $\frac{X+2}{Y+Z+1}$ = $\frac{1}{Z}$ (tomándolo como una ecuación), de la cual se obtiene $Z(X+1) = Y+1$. Caso análogo para $\frac{(BEA)}{(BEC)}$ = $\frac{X+Z+1}{Y+2}$ = $\frac{X}{1}$ y para $\frac{(ADC)}{(ADB)}$ = $\frac{X+Y+1}{Z+2}$ = $\frac{Y}{1}$, de lo cual se obtiene $X(Y+1) = Z+1$ e $Y(Z+1) = X+1$, respectivamente. Sumando las ecuaciones obtenidas llegamos a que $XY+YZ+XZ = 3$. Utilizando Ceva en ABC se tiene que $\frac{1}{XYZ}$ = $1$, por lo que $XYZ = 1$. Por MA - MG, tenemos que $\frac{XY+YZ+XZ}{3}$ es mayor o igual a $\sqrt[3]{(XYZ)^2}$, pero como $XYZ = 1$ tenemos que $XY+YZ+XZ$ es mayor o igual a 3, con igualdad sí y sólo sí $XY = YZ = XZ$, pero como $XY+YZ+XZ = 3$, entonces $X = Y = Z$. Reemplazamos en la ecuación anterior en función de $X$ y llegamos a que $X = Y = Z = 1$. Como $(ABC) = X+Y+Z+3 = 6$, demostramos lo pedido.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$

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