 APMO 2012 |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Olimpiadas > Olimpiada Asia-Pacifico  |
 Apr 10 2012, 09:55 AM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
 Solucion: (Pendiente)  Solucion: (Pendiente)  Solucion: (Pendiente)  Solucion: (Pendiente)   Solucion: (Pendiente) -------------------- |
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Apr 10 2012, 08:51 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
Pregunta:
-------------------- Me voy, me jui.
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Apr 15 2012, 01:12 AM
Publicado:
#3
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 Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 13-January 12 Miembro Nº: 100.161 Colegio/Liceo:  Sexo: |
Disculpen, no sé adjuntar dibujos y recién aprendí a usar Latex, por lo que recomiendo que dibujen el enunciado del problema 1. Gracias.
![TEX: <br /><br />\underline{Solución al Problema 1:}<br /><br />Sean N, L y K los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados AB, BC y AC, respectivamente. Sea (SRQ) el área del triángulo SRQ y denotemos por X, Y, Z a (AEP), (PDC) y (PFB), respectivamente.<br />Notemos que, tomando como base AB, se tiene que $\frac{(ACF)}{(CFB)}$ = $\frac{AF}{BF}$ = $\frac{(APF)}{(PFB)}$ = $\frac{1}{Z}$. Caso análogo tomando como base AC ($\frac{(BEC)}{(BEA)}$ = $\frac{1}{X}$) y BC ($\frac{(ABD)}{(ADC)}$ = $\frac{1}{Y}$).<br />Notemos que $\frac{(ACF)}{(CFB)}$ = $\frac{X+2}{Y+Z+1}$ = $\frac{1}{Z}$ (tomándolo como una ecuación), de la cual se obtiene $Z(X+1) = Y+1$. Caso análogo para $\frac{(BEA)}{(BEC)}$ = $\frac{X+Z+1}{Y+2}$ = $\frac{X}{1}$ y para $\frac{(ADC)}{(ADB)}$ = $\frac{X+Y+1}{Z+2}$ = $\frac{Y}{1}$, de lo cual se obtiene $X(Y+1) = Z+1$ e $Y(Z+1) = X+1$, respectivamente. Sumando las ecuaciones obtenidas llegamos a que $XY+YZ+XZ = 3$. Utilizando Ceva en ABC se tiene que $\frac{1}{XYZ}$ = $1$, por lo que $XYZ = 1$. Por MA - MG, tenemos que $\frac{XY+YZ+XZ}{3}$ es mayor o igual a $\sqrt[3]{(XYZ)^2}$, pero como $XYZ = 1$ tenemos que $XY+YZ+XZ$ es mayor o igual a 3, con igualdad sí y sólo sí $XY = YZ = XZ$, pero como $XY+YZ+XZ = 3$, entonces $X = Y = Z$. Reemplazamos en la ecuación anterior en función de $X$ y llegamos a que $X = Y = Z = 1$. Como $(ABC) = X+Y+Z+3 = 6$, demostramos lo pedido.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />](/tex-image/6e64f2296feb5ce5d14bbfeed96ff45f.png)
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