Desigualdad de Nesbit - Foro fmat.cl

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Desigualdad de Nesbit, 7 soluciones...Resuelto por TheLord, CAPQ, tebas, caf_tito, PaulRS, Re

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2010, 11:21 PM Publicado: #21
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aca otra solucion: $TEX: $ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c}+ \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a+b+c}{b+c}-1 + \dfrac{a+b+c}{a+c}-1+ \dfrac{a+b+c}{a+b}-1 = (a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}) -3$$ $TEX: Sean $x=b+c , y=a+c , z=a+b$ luego;$ $TEX: $ \dfrac{1}{2}(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})-3 = \dfrac{1}{2}(1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+1+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+1)-3= \dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+3)-3$$ $TEX: Pero $(m-n)^2 \ge 0 =m^2+n^2\ge 2mn = \dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n} \ge 2$$ $TEX: Aplicando esto en lo anterior tres veces,$ $TEX: $\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+3)-3 \ge \dfrac{1}{2}(2+2+2+3)-3= \dfrac{3}{2}$$ $TEX: Demostrando lo pedido =)$

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2010, 08:35 PM Publicado: #22
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Esa tiene la idea de la q se me ocurrio, y de casualidad, enontre otra en un libro, si tengo tiempo la posteo -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Multi-Kill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2011, 01:10 PM Publicado: #23
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 12-October 10 Miembro Nº: 78.551 Nacionalidad: Sexo:	Como la desigualdad es homogenea, podemos normalizar haciendo a+b+c=1, de donde se finaliza usando la desigualdad de jensen puesto que la funcion x/1-x es convexa en (0,1) (ya que su segunda derivada es 2(1-x)^3)

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2011, 03:34 PM Publicado: #24
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $\<br />p = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}<br />\<br />$$ Suponga sin perida de generalidad que $TEX: \[<br />a \le b \le c \Rightarrow \frac{1}{{b + c}} \le \frac{1}{{a + c}} \le \frac{1}{{a + b}}<br />\]$ Entonces aplicando la desigualdad de reordenamiento dos veces obtenemos que : $TEX: $\<br />\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{a + b}}<br />\<br />$$ $TEX: \[<br />\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} + \frac{a}{{a + b}}<br />\]<br />$ Sumando estas dos desigualdades obtenemos que $TEX: \[<br />2(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}) \ge \frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} + \frac{a}{{a + b}}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \frac{{b + c}}{{b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + c}} + \frac{{a + b}}{{a + b}} = 3<br />\]<br />$ Entonces $TEX: \[<br />2(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}) \ge 3<br />\]<br />$ Dividiendo por 2 en ambos lados se obtiene lo pedido.

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2011, 08:56 PM Publicado: #25
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tengo otra solucion Esta en word, porque me cuesta escribir en latex. xd nesbbit.docx ( 13.92k ) Número de descargas: 24 SALUDOS

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 03:50 PM Publicado: #26
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Es viejo el tema pero tengo una demotración distinta a todas las otras que pusieron , al menos yo la encuentro muy bonita . Demostración: Ponganse $TEX: $a=-u+v+w$, $b=u-v+w$ y $c=u+v-w$$ ; las soluciones son $TEX: $u=\frac{b+c}{2}$, $v=\frac{a+c}{2}$ y $w=\frac{a+b}{2}$$ luego $TEX: $u,v,w\geq 0$$ . Reemplazando en la desigualdad se obtiene: $TEX: $\dfrac{-u+v+w}{2u}+\dfrac{u-v+w}{2v}+\dfrac{u+v-w}{2w}\geq \dfrac{3}{2}$$ los términos negativos salen de la fracción como -1/2, multiplicando por 2 se llega a: $TEX: $\dfrac{v+w}{u}+\dfrac{u+w}{v}+\dfrac{u+v}{w}\geq 6$$ aquí multiplicamos por $TEX: $uvw$$ quedando: $TEX: $uv(u+v)+vw(v+w)+uw(u+w)\geq 6uvw$$ que es una desigualdad conocida. (Se puede obtener aplicando $TEX: $MA(u^{2}v,uv^{2},v^{2}w,vw^{2},u^{2}w,uw^{2})\geq MG(u^{2}v,uv^{2},v^{2}w,vw^{2},u^{2}w,uw^{2})$$ ). Fin de la demostración. -------------------- Gavier Zómej Hola

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2012, 10:33 PM Publicado: #27
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aquí voy :3 Por MA≥MH sobre (a+b), (b+c) y (c+a) tenemos: $TEX: $\displaystyle \frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}\ge \displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}$$ $TEX: $2(a+b+c)\left(\displaystyle \frac{1}{a+b}+\displaystyle \frac{1}{b+c}+\displaystyle \frac{1}{c+a}\right)\ge 9$$ $TEX: $(a+b+c)\left(\displaystyle \frac{1}{a+b}+\displaystyle \frac{1}{b+c}+\displaystyle \frac{1}{c+a}\right)\ge \displaystyle \frac{9}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{a+b+c}{a+b}+\displaystyle \frac{a+b+c}{b+c}+\displaystyle \frac{a+b+c}{c+a}\ge 9$$ $TEX: $3+\displaystyle \frac{a}{b+c}+\displaystyle \frac{b}{c+a}+\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{9}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b+c}+\displaystyle \frac{b}{c+a}+\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{3}{2}$$ -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

master_c	Jun 2 2013, 09:52 PM Publicado: #28
Invitado	supongamos que $TEX: $$a \geqslant b \geqslant c$$$ no es dificil notar que se cumple $TEX: $$a + b \geqslant c + a \geqslant b + c$$$ mejor aun $TEX: $$\frac{1}{{b + c}} \geqslant \frac{1}{{c + a}} \geqslant \frac{1}{{a + b}}$$$ entonces por la desigualdad de reordenamiento, tenemos $TEX: $$<br />2\left( {\frac{a}<br />{{b + c}} + \frac{b}<br />{{c + a}} + \frac{c}<br />{{a + b}}} \right) \geqslant \frac{b}<br />{{b + c}} + \frac{c}<br />{{b + c}} + \frac{c}<br />{{c + a}} + \frac{a}<br />{{c + a}} + \frac{a}<br />{{a + b}} + \frac{b}<br />{{a + b}} = 3<br />$$$ fin

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