Desigualdad de Nesbit - Foro fmat.cl

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Desigualdad de Nesbit, 7 soluciones...Resuelto por TheLord, CAPQ, tebas, caf_tito, PaulRS, Re

Retro_15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2009, 09:03 PM Publicado: #11
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 28-November 08 Desde: Cualquier parte... Miembro Nº: 39.791 Nacionalidad: Sexo:	Preferible una demostracion mas "elemental", sale mas bonito en algunos casos, aunque luego, para finalizar la demostracion, se da uso a la desigualdad de Cauchy-Schwarz. P.D.Q: $TEX: \[<br />\frac{a}<br />{{b + c}} + \frac{b}<br />{{c + a}} + \frac{c}<br />{{a + b}} \geqslant \frac{3}<br />{2}<br />\]$ con $TEX: \[<br />a,b,c > 0<br />\]$ Demostracion: Notese que $TEX: \[<br />\frac{a}<br />{{b + c}} = \frac{{a + b + c}}<br />{{b + c}} - 1<br />\]$ , $TEX: \[<br />\frac{b}<br />{{c + a}} = \frac{{b + c + a}}<br />{{c + a}} - 1<br />\]$ y $TEX: \[<br />\frac{c}<br />{{a + b}} = \frac{{c + a + b}}<br />{{a + b}} - 1<br />\]$ entonces, la desigualdad a probar, se transforma en $TEX: \[<br />\frac{{a + b + c}}<br />{{b + c}} - 1 + \frac{{b + c + a}}<br />{{c + a}} - 1 + \frac{{c + a + b}}<br />{{a + b}} - 1 \geqslant \frac{3}<br />{2}<br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{a + b + c}}<br />{{b + c}} + \frac{{b + c + a}}<br />{{c + a}} + \frac{{c + a + b}}<br />{{a + b}} - 3 \geqslant \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}<br />{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}} + \frac{1}<br />{{a + b}}} \right) - 3 \geqslant \frac{3}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ ahora bien, note que $TEX: \[<br />a + b + c = \frac{1}<br />{2}\left( {2\left( {a + b + c} \right)} \right)<br />\]$ , entonces tenemos que $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}<br />{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}} + \frac{1}<br />{{a + b}}} \right) - 3 \geqslant \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \frac{1}<br />{2}\left( {2\left( {a + b + c} \right)} \right)\left( {\frac{1}<br />{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}} + \frac{1}<br />{{a + b}}} \right) - 3 \geqslant \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}<br />{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}} + \frac{1}<br />{{a + b}}} \right) \geqslant \frac{3}<br />{2} + 3 \hfill \\<br /> \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}<br />{{b + c}} + \frac{1}<br />{{c + a}} + \frac{1}<br />{{a + b}}} \right) \geqslant \frac{9}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ de la cual, la ultima desigualdad, se obtiene de la desigualdad de Cauchy-Scharwz. Salu2 Mensaje modificado por Retro_15 el Jan 6 2009, 09:04 PM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 11:45 AM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	muy bien, tu solución también es correcta, felicitaciones

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 9 2009, 01:58 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Ac\'a dejo otra, distinta en escencia a las de alla arriba:\\<br />Notando que<br />\begin{eqnarray}<br />\left(\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\geq0<br />\end{eqnarray}<br />podemos, desarrollando y despejando, deducir que<br />\begin{eqnarray}<br />\dfrac{a}{b+c}\geq\dfrac{1}{4}\times\dfrac{\frac{8a}{b+c}-1}{\frac{a}{b+c}+1}=\dfrac{8a-b-c}{4(a+b+c)}<br />\end{eqnarray}<br />Aplicando sumas c\'iclicas tenemos<br />\begin{eqnarray}<br />\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\geq\sum_{cyc}\dfrac{8a-b-c}{4(a+b+c)}=\dfrac{3}{2}<br />\end{eqnarray}<br />$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2009, 03:19 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una muy bella solución, muchas felicitaciones

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2009, 11:10 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Apr 6 2007, 05:03 PM) $TEX: Si $a, b, c>0$, demuestre que:$ $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b+c}+\displaystyle \frac{b}{c+a}+\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{3}{2}$$ Saludos $TEX: Por $MA\ge MG$:<br /><br /> $a^{3/2}+2b^{3/2}\ge 3a^{1/2}b$ y $a^{3/2}+2c^{3/2}\ge 3a^{1/2}c$ <br /><br />Sumando: $2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})\ge 3a^{1/2}(b+c)$<br /><br />Dividiendo ambos lados por $2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})(b+c):$<br /><br />$\displaystyle \frac{1}{b+c}\ge \displaystyle \frac{3}{2}\cdot \displaystyle \frac{a^{1/2}}{a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2}}\Rightarrow \displaystyle \frac{a}{b+c}\ge \displaystyle \frac{3}{2}\cdot \displaystyle \frac{a^{3/2}}{a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2}}$<br /><br />Analogamente $\displaystyle \frac{b}{c+a}\ge \displaystyle \frac{3}{2}\cdot \displaystyle \frac{b^{3/2}}{a^{3/2}+y^{3/2}+z^{3/2}}$ y $\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{3}{2}\cdot \displaystyle \frac{c^{3/2}}{a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2}}$<br /><br />Sumando las desigualdades obtenidas:<br /><br />$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\displaystyle \frac{b}{c+a}+\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{3}{2}$<br /><br />Demostrando lo pedido$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2010, 07:40 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent $\sum \dfrac{a}{b+c}=\sum \dfrac{a^2}{ab+bc}\ge \dfrac{(\sum a)^2}{2(\sum ab)}\ge \dfrac{3}{2}$\\<br />la ultima desigualdad es pq $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2010, 08:33 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Limpiando denominadores, la desigualdad a probar equivale a probar que: $$2\displaystyle\sum_{ciclica} a(a+b)(a+c)\ge 3(a+b)(b+c)(c+a)$$<br /><br />O mas limpio aun, a probar que $\displaystyle \sum_{sym} a^3\ge \displaystyle \sum_{sym} a^2b$; y esta es cierta debido a la desigualdad de Muirhead aplicada a los vectores $(3,0,0)$ y $(2,1,0)$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2010, 09:33 AM Publicado: #18
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Alguien puede encontrar otra demostracion que solo use el simple hecho de que si $x$ es un real entonces $x^2 \ge 0$?$ Mensaje modificado por Emi_C el Jun 26 2010, 09:36 AM -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2010, 10:38 AM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	no leiste la mia? -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2010, 11:22 AM Publicado: #20
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	Por eso dije otra demostracion, no es tan linda cm la tuya, pero hay otra -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

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