rigurosidad en demostraciones, un detalle Opciones

[axiomatico]

Chiquillos , la geometría son puros axiomas también. No crean que son circulitos y triángulos que uno dibuja y dice cosas al aire porque "parece que sí".

Así que tu afirmación "axiomático" está incorrecta. A propósito me parece muy poco axiomático no tomar tan en serio los axiomas

no, no quise decir eso xD... fue para decir que a veces hay que recurrir al lenguaje natural para hacer referencia a ciertas cosas necesarias para la demostración que no alcanzan con el "lenguaje de cuantificadores, axiomas y conectivos lógicos" ... ejemplo: todas esas consideremos, supongamos, sea, etc y en general donde no quede otra que usar el lenguaje natural.

Mensaje modificado por axiomatico el Apr 11 2012, 11:02 AM

[Kaissa]

De esto me salta una duda...
La semana pasada el profe de física resolvió un problema, en eso trazó dos alturas y se formó el ortocentro. Y como una línea L1 pasaba por aquel ortocentro, dijo que L1 era altura. Yo lo encontré súper trucho pero igual me quedó la duda... Es válido?

Hecho crucial: Las tres alturas de un triángulo pasan por un mismo punto (ortocentro)
Demostración: búsquela
Corolario: si trazamos dos alturas y tenemos una tercera línea que pasa por la intersección de las dos alturas, entonces ella es también altura.
Justificación: como el tercer segmento une el ortocentro y el vértice, entonces podemos trazar la tercera altura que... pasara por esos dos puntos! entonces son el mismo segmento y pafff nació chocapic.



Respecto de lo alegado por el axiomático:
¿Como se demuestra una proposición del tipo "para cualquier blablabla ocurre blebleble"?
Consideremos un blablabla, y probemos, mediante algun razonamiento plausible que use solo elementos independientes de lo que se quiere demostrar, que ocurre efectivamente blebleble.

¿cómo demuestro una proposición del tipo "existe un blablabla que verifica que blebleble"?
Nos damos un blablabla, y usando un razonamiento análogo al ya descrito, probamos que ocurre el blebleble.

¿qué palabras no debes usar? todas alquellas que hagan alusión directa o indirecta a la intuición humana, por ejemplo "al parecer" o "algunos ejemplos desarrollados nos muestran que", etc

[axiomatico]

Hecho crucial: Las tres alturas de un triángulo pasan por un mismo punto (ortocentro)
Demostración: búsquela
Corolario: si trazamos dos alturas y tenemos una tercera línea que pasa por la intersección de las dos alturas, entonces ella es también altura.
Justificación: como el tercer segmento une el ortocentro y el vértice, entonces podemos trazar la tercera altura que... pasara por esos dos puntos! entonces son el mismo segmento y pafff nació chocapic.
Respecto de lo alegado por el axiomático:
¿Como se demuestra una proposición del tipo "para cualquier blablabla ocurre blebleble"?
Consideremos un blablabla, y probemos, mediante algun razonamiento plausible que use solo elementos independientes de lo que se quiere demostrar, que ocurre efectivamente blebleble.

¿cómo demuestro una proposición del tipo "existe un blablabla que verifica que blebleble"?
Nos damos un blablabla, y usando un razonamiento análogo al ya descrito, probamos que ocurre el blebleble.

¿qué palabras no debes usar? todas alquellas que hagan alusión directa o indirecta a la intuición humana, por ejemplo "al parecer" o "algunos ejemplos desarrollados nos muestran que", etc

¿al decir "supongamos que", "consideremos que", entre otras, igual se hace alusión a la intuición o no?
por eso hice la pregunta al considerar que las palabras no son muy exactas (como las matemáticas)

Mensaje modificado por axiomatico el Apr 11 2012, 02:34 PM

[Maxooon]

No, no se hace uso de la intuición. Simplemente se facilita la comprensión.

Pero una demostración matemática puede prescindir completamente de esos auxiliares. En efecto, por ejemplo el clásico "Sea" o "supongamos que" , puede ser reemplazado sin problemas por un existe o un para todo, dependiendo del caso.

El problema es que si no se usan palabras naturales auxiliares, dificultamos a las personas entender la demostración. Y justamente la gracia
de demostrar consiste en convencer al lector de que eso realmente ocurre. ¿Por qué no usar entonces nuestro rico lenguaje para ello?

Repito, la rigurosidad no depende del lenguaje natural , sino del razonamiento matemático que se realiza y su validez.

[axiomatico]

No, no se hace uso de la intuición. Simplemente se facilita la comprensión.

Repito, la rigurosidad no depende del lenguaje natural , sino del razonamiento matemático que se realiza y su validez.

recién estaba averiguando y suponer es conjeturar algo como cierto y existente... y un sinónimo de conjeturar es intuir.
por lo tanto igual tiene que ver con la intuición... claro que se entiende que en las demostraciones se usan esos auxiliares para facilitar la comprensión y hacer de alguna manera legible para el lector algo que formalmente serían puros símbolos. ¿está bien?.

lo ultimo, según lo anterior formalmente una demostración serían puros símbolos, pero habías dicho que la rigurosidad no está en el lenguaje natural, ¿esto significa que rigurosidad y formalidad no es lo mismo?

[Maxooon]

Claramente no es lo mismo. La formalidad tiene que ver con un aspecto estético de la demostración; seriedad en otras palabras, mientras que rigurosidad tiene que ver con un aspecto lógico y del razonamiento.

Por ejemplo, siendo formal evito usar palabras o explicaciones innecesarias en la demostración; uso lo justo y necesario y evito expresiones que no tengan que ver con lo que quiero demostrar. Siendo riguroso por otra parte, tiene que ver con el planteamiento lógico matemático que estoy realizando. Como decía Kaissa, es poco riguroso hacer suposiciones que no han sido demostradas o confiar en demasía en la "intuición" del lector (expresiones como "es fácil ver", "claramente"... en general aunque sea algo trivial, se da alguna argumentación de ello).

En el caso del clásico "suponga", fíjate que se usa mucho cuando estoy justamente por "probar" algo. Por eso es válida la conjetura, siempre y cuando sea confirmada o refutada. En las demostraciones por reducción al absurdo se usa bastante (por ejemplo, el folclórico "supongamos que no es cierto", y al final se llega a que en realidad SI era cierto, lo que afirma que la suposición inicial era falsa..), o cuando hay algo que todavía no demuestro.

En fin; hay que tener cuidado con el hecho de que el lenguaje natural no interfiera en la rigurosidad. No sería extraño que alguien tome formalidad y rigurosidad como sinónimos, aunque yo prefiero darle cierta distinción conceptual.

[axiomatico]

En el caso del clásico "suponga", fíjate que se usa mucho cuando estoy justamente por "probar" algo. Por eso es válida la conjetura, siempre y cuando sea confirmada o refutada. En las demostraciones por reducción al absurdo se usa bastante (por ejemplo, el folclórico "supongamos que no es cierto", y al final se llega a que en realidad SI era cierto, lo que afirma que la suposición inicial era falsa..), o cuando hay algo que todavía no demuestro.

si claro!, ya está casi todo aclarado... solo que como decía, "suponer" tiene que ver con la intuición, pero según kaissa no se debería hacer alusión a la intuición en una demostración, eso es lo que no entendí bien, quizá la palabra que trató de expresar no era "intuición"

[Pasten]

Veamos un ejemplo:

Proposicion: Existen infinitos numeros primos.

Demostracion 1: Sea p un numero primo, por ejemplo p=2, 3, 5, 7, etc. Entonces alguno de los numeros p+1, p+2, ..., 2p-1 debe ser primo. Por ejemplo si p=7 entonces hay que buscar entre los numeros 8,9,10,11,12,13, y nos damos cuenta que aparecen 2 primos. Mas aun, si p aumenta en valor entonces cada vez se encuentran mas numeros primos. Por lo tanto hay infinitos numeros primos.

Demostracion 2: Estimado lector, si usted no cree que hay infinitos numeros primos entonces hagamos el siguiente experimento mental. Suponga que los unicos numeros primos son p1, p2, ..., pr y que no hay mas. Hagase el numero N que es el producto de todos esos primos que segun usted son solo finitos. Entonces, estimado lector, podria decirme cuales son los factores primos de N+1? seguro que no podra! pienselo un minuto y se va a dar cuenta. Este error le muestra que debe haber infinitos primos.

Ok, entonces de esas dos demos la primera parece un lenguaje mas matematico mientras la segunda parece de una revista tipo 'conozca mas'. Aun asi, el argumento de la primera no es una demostracion, mientras que en la segunda si (o mas bien, casi).

De regalo, aqui va una tercera demostracion que descubri cuando yo era un adorable infante.

Demostracion 3: suponga que hay finitos numeros primos, digamos 2,3,5,7,...,P,Q ordenados de menor a mayor. Tomemos el sistema de congruencias
x = 2 mod 3
x = 3 mod 5
x = 5 mod 7
...
x = P mod Q
x = Q mod 2

observe que los modulos son coprimos, asi que este sistema tiene solucion por el teorema chino del resto (el cual obviamente no necesita infinitos primos en la demostracion, es solo propiedades basicas de divisibilidad y coprimalidad). Sea w una solucion. Entonces w no es multiplo de ningun numero primo, pues w deja resto no nulo modulo cada uno de los primos (recuerde que estamos suponiendo que no hay mas primos!). Los unicos enteros que no son divisibles por ningun primo son -1 y 1, asi que w tiene que ser uno de estos dos. Pero si vemos la segunda congruencia llegamos a que
-1 = 3 mod 5
o bien
1 = 3 mod 5
lo cual es absurdo!. Asi que hay infinitos primos.

Saludos

[coquitao]

Para la prueba vía el teorema chino creo que bastaba considerar el sistema

x= -1 (mod p_1), x= -1 (mod p_2), ..., x = -1 (mod p_n).

Como los módulos son coprimos dos a dos, el sistema tiene (al menos) una solución X mayor que 2012. Este número X es primo o posee un factor primo q distinto de cada unos de los p_i. En cualquier caso, hemos dado con un primo que no pertenece al conjunto de primos considerado inicialmente. Fin.

Nótese que el argumento anterior no es por contradicción. La prueba está proporcionando una rutina para generar nuevos primos a partir de un conjunto dado de primos de cardinal mayor que 1. La intención del apunte no es generar polémica, sólo compartir la línea que me pareció más directa la primera vez que ví el problema.

Saludos.

[Pasten]

Para la prueba vía el teorema chino creo que bastaba considerar el sistema

x= -1 (mod p_1), x= -1 (mod p_2), ..., x = -1 (mod p_n).

Como los módulos son coprimos dos a dos, el sistema tiene (al menos) una solución X mayor que 2012. Este número X es primo o posee un factor primo q distinto de cada unos de los p_i. En cualquier caso, hemos dado con un primo que no pertenece al conjunto de primos considerado inicialmente. Fin.

Nótese que el argumento anterior no es por contradicción. La prueba está proporcionando una rutina para generar nuevos primos a partir de un conjunto dado de primos de cardinal mayor que 1. La intención del apunte no es generar polémica, sólo compartir la línea que me pareció más directa la primera vez que ví el problema.

Saludos.

Claro, despues de ver una demostracion hermosa uno siempre puede cambiarle un detallito por aqui o por alla para hacerla mas compacta, o mas directa, etc...
En todo caso, prefiero mi version pues termina con la frase:
"llegamos a que
-1 = 3 mod 5
o bien
1 = 3 mod 5
lo cual es absurdo!"
que me parece mas farandulera (vende mas, cachai?). Es como esa demo de Furstenberg, que en realidad es la misma demostracion de Euclides escrita mas complicada, pero vista de esa forma vende mas.

Saludos!