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Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2012, 02:17 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $X=\mathrm C[0,1]$. Para cada $f\in X,n\in\mathbb N,x_1,\ldots,x_n\in[0,1]$ y $\epsilon>0$, se define el conjunto<br />$$A(f,\epsilon,x_1,\ldots,x_n)=\left\{g\in X:\|g(x_i)-f(x_i)\|<\epsilon,i\in\{1,\ldots,n\}\right\}.$$<br />Muestre que la colección de todos estos conjuntos es una base para una topología en $X$. ¿Qué significa que una sucesión $(f_n)$ converja a $f$ en dicha topología?<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2012, 03:02 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Claramente $TEX: $f \in A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n)$$ , por lo que los conjuntos recubren $TEX: $X$$ . Por otro lado, $TEX: $$A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n) \cap A(g, \delta, y_1, \dotsc, y_m) = \{ h \in X \ \mid\ \|h(x_i) - f(x_i)\| < \varepsilon, \|h(y_j) - g(y_j)\| < \delta \quad \forall i, \forall j\}.$$$ Para probar que los conjuntos son una base, basta ver que para todo $TEX: $h$$ en esa intersección existen $TEX: $\eta > 0$$ y $TEX: $z_1, \dotsc, z_k \in [0, 1]$$ tales que $TEX: $A(h, \eta, z_1, \dotsc, z_k) \subseteq A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n) \cap A(g, \delta, y_1, \dotsc, y_m)$$ . Suponemos entonces que la intersección no es vacía y tomamos $TEX: $$\eta = \frac{\min\{\min_i \{ \varepsilon - \|h(x_i) - f(x_i)\|\}, \min_j \{ \delta - \|h(y_j) - g(y_j)\| \}\}}{2} $$$ , $TEX: $z_1 = x_1, \dotsc, z_n = x_n, z_{n + 1} = y_1, \dotsc, z_{n + m} = y_m$$ . Así, si $TEX: $u \in A(h, \eta, z_1, \dotsc, z_k)$$ , entonces $TEX: $$\|u(x_i) - f(x_i)\| \leq \|u(x_i) - h(x_i)\| + \|h(x_i) - f(x_i)\| < \eta +\|h(x_i) - f(x_i)\| < \varepsilon$$$ y $TEX: $$\|u(y_j) - g(y_j)\| \leq \|u(y_j) - h(y_j)\| + \|h(y_j) - g(y_j)\| < \eta +\|h(x_i) - g(x_i)\| < \delta$$$ por la elección de $TEX: $\eta$$ . Luego, $TEX: $u \in A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n) \cap A(g, \delta, y_1, \dotsc, y_m)$$ y se concluye que los conjuntos son base de una única topología $TEX: $\tau$$ . De lo probado anteriormente se concluye que los conjuntos $TEX: $A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n)$$ forman una base de vecindades de $TEX: $f$$ (ya que si tomamos $TEX: $A(g, \delta, y_1, \dotsc, y_m)$$ que contenga a $TEX: $f$$ , existirá un conjunto de esta forma en la intersección). Así, $TEX: \begin{align}<br />f_k \to f \text{ en } \tau&\iff \forall \varepsilon > 0, \forall x_1, \dotsc, x_n \in [0, 1], \exists k_0 \in \mathbb{N}, f_k \in A(f, \varepsilon, x_1, \dotsc, x_n) \quad \forall k \geq k_0 \\<br />&\iff \forall \varepsilon > 0, \forall x_1, \dotsc, x_n \in [0, 1], \exists k_0 \in \mathbb{N}, \|f_k(x_i) - f(x_i)\| < \varepsilon \quad \forall i, \forall k \geq k_0 \\<br />&\iff \forall \varepsilon > 0, \forall x \in [0, 1], \exists k_0 \in \mathbb{N}, \|f_k(x) - f(x)\| < \varepsilon \quad \forall k \geq k_0 \\<br />&\iff \forall x \in [0, 1], f_k(x) \to f(x) \\<br />&\iff f_k \to f \text{ puntualmente}.<br />\end{align}$ (donde la tercera equivalencia se justifica porque se puede ocupar la tercera línea para finitos $TEX: $x_i \in [0, 1]$$ y tomar el máximo $TEX: $k_0$$ ). -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2012, 04:27 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien, justamente esa era la idea. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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