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Una suma

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2012, 11:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pruebe que $TEX: $$1=\displaystyle \sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{n-k}{i-k}2^{n-i}$$$ -------------------- blep

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2012, 10:40 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	Solución no-olímpica $TEX: \begin{align}<br />\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{n-k}{i-k}2^{n-i}&=\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}(-1)^{i}2^{n-k-i}\\<br />&=(-1+2)^{n-k}\\<br />&=1<br />\end{align}$ -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 01:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	hint: Ocupe la formula de inversion de Mobius -------------------- blep

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 01:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	CITA(snw @ Apr 8 2012, 02:11 PM) hint: Ocupe la formula de inversion de Mobius O sea, está incorrecto? -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 05:12 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No está mal pero claramente no es la respuesta esperada si está en el subforo de combinatoria -------------------- blep

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2012, 10:01 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(Gastón Burrull @ Apr 7 2012, 11:40 AM) Solución no-olímpica $TEX: \begin{align}<br />\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{n-k}{i-k}2^{n-i}&=\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}(-1)^{i}2^{n-k-i}\\<br />&=(-1+2)^{n-k}\\<br />&=1<br />\end{align}$ Hola, creo que el 2do paso no está bien, el exponente de 2 debería ser (por la propiedad que usaste) $TEX: $n+k-i$$ , no $TEX: $n-k-i$$ . A menos que no sé, te hayas saltado algunos pasos mágicos de los cuales me gustaría saber su existencia. Espero tu respuesta burrulls. Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2012, 10:14 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	Estimado, primero que nada es bueno que acotes si hay un error. Sin embargo, creo que está correcto todo, incluso tu acotación, creo que el término que dices sí debe ir así. El procedimiento que he usado es renombrar los sumandos bajo otros índices, por lo que la suma en valor es la misma, espero que mi desarrollo no cause confusión y si hay un paso que pueda faltar para un mejor entendimiento porfavor avisarme. Saludos. -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

kfunk Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2012, 11:08 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 4-April 10 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 67.758 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ May 15 2012, 12:01 AM) Hola, creo que el 2do paso no está bien, el exponente de 2 debería ser (por la propiedad que usaste) $TEX: $n+k-i$$ , no $TEX: $n-k-i$$ . A menos que no sé, te hayas saltado algunos pasos mágicos de los cuales me gustaría saber su existencia. Espero tu respuesta burrulls. Saludos. Queda $TEX: $$n - (i+k) = n - i - k = n - k - i$$$ . Saludos.

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 13 2015, 11:00 PM Publicado: #9
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tenemos lo siguiente: $TEX: $\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} {n-k \choose i-k} 2^{n-i}=$<br /><br /><br />$\sum_{i=0}^{n-k} {n-k \choose i} (-1)^i2^{n-k-i}=$<br /><br /><br />$\sum_{i=0}^{n-k} {n-k \choose i} (-1)^i2^{n-k-i} (-1)^{2(n-k)}=$<br /><br /><br />$(-1)^{n-k}2^{n-k} \sum_{i=0}^{n-k} {n-k \choose i} (-1)^{n-k-i}2^{-i}$<br />$ Sea ahora: $TEX: $g(t)=\sum_{i=0}^t {t \choose i} (-1)^{t-i}2^{-i}=\sum_{i=0}^t {t \choose i} (-1)^{t-i}f(i)$$ Donde $TEX: $f(i)=2^{-i}=\left( 1-\dfrac{1}{2}\right)^i=\sum_{k=0}^i {i \choose k} \left(-\frac{1}{2} \right)^k $$ Por lo tanto, por fórmula de inversión de Mobius, se concluye que $TEX: $g(t)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^t$$ Reemplanzado este valor en lo de más arriba se concluye que: $TEX: $\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} {n-k \choose i-k} 2^{n-i}=(-1)^{n-k}2^{n-k}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-k}=1$$ Probando lo pedido. Filetito. -------------------- ...

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