I1 Teoría de la Integración

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I1 Teoría de la Integración, 1S 2012

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2012, 10:12 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Interrogación 1 de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.5cm}<br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Probar que la función<br /><br />$$f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$<br /><br />es integrable en el sentido de Riemann sobre $[0,1]$ y calcule su integral. Encontrando particiones apropiedas y usando el valor de la integral calculado antes, pruebe que se tiene la igualdad<br /><br />$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\dfrac{\pi}{4}$$<br /><br />\item \textbf{Ejercicio.} Utilizando integrales de Riemann de funciones escogidas de manera apropiada, encontrar los límites siguiente.<br />\begin{enumerate} <br />\item $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^k+2^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right), k\ge 0$.<br />\item $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)f\left(\frac{2}{n}\right)\cdots f\left(\frac{n}{n}\right)\right)^{1/n}$, donde $f$ es una función continua, estrictamente positiva.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $(\Omega,\mathcal{F})$ un espacio medible y $f:\Omega\to\mathbb{R}^+$ una función medible. Se designa por $[x]$ la parte entera de $x\in\mathbb{R}$. Para todo $n\in\mathbb{N}$, sea<br /><br />\[\theta_n(\omega):=\begin{cases}<br />\dfrac{[f(\omega)2^n]}{2^n}&\text{si }\omega\in\{f<n\}\\<br />n&\text{si }\omega\in\{f\ge n\}\\<br />\end{cases}.\]<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Probar que $\theta_n$ es una aplicación medible para cada $n\in\mathbb{N}$.<br />\item Probar que $(\theta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión creciente que converge simplemente hacia $f$.<br />\item Probar que si $f$ es acotada, entonces $(\theta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: $4$. \textbf{Problema.} Considerar el intervalo $\Omega = [0,1]$<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $e_n(x) :=x^n, (n\in\mathbb{N}, x\in[0,1])$. Fijando $n\in\mathbb{N}$, analice bajo qué condiciones un subconjunto $A\subset \Omega$ pertenece a $\sigma(e_n)$, la tribu generada por $e_n$. Demostrar que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es $\sigma(e_n)/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-medible si y sólo si existe una función boreliana $g$ tal que $f=g\circ e_n$.<br /><br />\item Sea $\mathfrak{P}$ (respectivamente $\mathfrak{C}$) el álgebra de todos los polinomios (resp. funciones continuas) sobre $[0,1]$. Demostrar que $\sigma(\mathfrak{P}) = \sigma(\mathfrak{C})$.<br /><br />\item Concluir que<br /><br />$$\mathcal{B}([0,1]) = \sigma(\mathfrak{C}) = \sigma(\mathfrak{P}) = \sigma(e_n; n\in\mathbb{N}).$$<br />\end{enumerate}$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)