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Propuesto 3

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2007, 01:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Se dan maliciosamente los numeros positivos $a_1,a_2,...,a_m,b_1,b_2,...,b_n$ tales que $\sum_{i=1}^{m} a_i=\sum_{j=1}^{n} b_j$. Pasten dispone de un tablero vacio de $m$ filas y $n$ columnas donde debe escribir numeros positivos en algunas casillas ingeniosamente, de modo que la suma de los numeros escritos en la fila $i$ sea $a_i$, y la suma de los numeros de la columna $j$ sea $b_j$, para todas las filas y columnas. \\<br />Demuestre que Pasten siempre puede hacer esto sin usar mas de $m+n-1$ casillas.\\<br />Indicacion: asuma que Pasten es lo suficientemente astuto.$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

mp11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2007, 10:58 AM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 8-March 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.388 Nacionalidad: Sexo:	En general para hacer las pruebas de nivel mayor y menor se toma un problema como este para el nivel mayor y se ponen cosas como estas para el nivel menor: 1) Pruebe que Pasten puede llenar el tablero usando TODAS las casillas. 2) Asuma que n=m=2. Resuelva el problema usando 3 casillas. A aquellos que les gusta la induccion , el problema original es un buen desafio al temple y la confianza en el metodo. -------------------- MP11 www.math.u-psud.fr/~ponce

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2007, 06:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(mp11 @ Apr 12 2007, 11:58 AM) En general para hacer las pruebas de nivel mayor y menor se toma un problema como este para el nivel mayor y se ponen cosas como estas para el nivel menor: 1) Pruebe que Pasten puede llenar el tablero usando TODAS las casillas. 2) Asuma que n=m=2. Resuelva el problema usando 3 casillas. A aquellos que les gusta la induccion , el problema original es un buen desafio al temple y la confianza en el metodo. No se cierren en induccion, usar lo que mejor les parezca que con ingenio las cosas salen. Saludos. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

mp11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2007, 06:52 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 8-March 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.388 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Apr 13 2007, 12:40 AM) No se cierren en induccion, usar lo que mejor les parezca que con ingenio las cosas salen. Saludos. No digo que solo lo pueden hacer por induccion , digo que como ejercicio de induccion es bueno. De manera "combinatoria" tambien sale (yo diria que es mas facil aun....) -------------------- MP11 www.math.u-psud.fr/~ponce

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2020, 11:51 AM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pasten @ Apr 4 2007, 02:59 PM) $TEX: \noindent<br />Se dan maliciosamente los numeros positivos $a_1,a_2,...,a_m,b_1,b_2,...,b_n$ tales que $\sum_{i=1}^{m} a_i=\sum_{j=1}^{n} b_j$. Pasten dispone de un tablero vacio de $m$ filas y $n$ columnas donde debe escribir numeros positivos en algunas casillas ingeniosamente, de modo que la suma de los numeros escritos en la fila $i$ sea $a_i$, y la suma de los numeros de la columna $j$ sea $b_j$, para todas las filas y columnas. \\<br />Demuestre que Pasten siempre puede hacer esto sin usar mas de $m+n-1$ casillas.\\<br />Indicacion: asuma que Pasten es lo suficientemente astuto.$ $TEX: <br /> <br />Asumamos que $n>1$ y $m>1$, de lo contrario el problema es trivial.<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br />En la siguiente construcción podremos decir que existen al menos $n \cdot m$ formas de colocar $n + m-1$ números en un tablero de $m$ filas y $n$ columnas.<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br />En efecto, en nuestro tablero vacío escogeremos cualquier casilla de las $n \cdot m$ disponibles (esto es la cantidad de formas) digamos que es la que pertenece a la fila $i$ y a la columna $j$, ahora a toda casilla que esté en la columna $j$, excepto a la que escogemos le asignaremos el número $a_p$ si está en la fila número $p$, análogamente a toda casilla que está en la fila $i$ excepto a la de la columna $j$ le asignaremos el número $b_q$ si está en la columna $q$, es decir $p \neq i$ y $q \neq j$. Ahora sea $$S=a_i + b_j - \sum_{x=1}^{n} b_x =b_j+a_i- \sum_{y=1}^{m}a_y$$ el número de la casilla que habíamos escogido desde un principio.<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br /><br />$ Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 20 2020, 11:49 AM

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2020, 12:16 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(Fran.tgx @ Jun 19 2020, 11:51 AM) $TEX: <br /> <br />Asumamos que $n>1$ y $m>1$, de lo contrario el problema es trivial.<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br />En la siguiente construcción podremos decir que existen al menos $n \cdot m$ formas de colocar $n + m-1$ números en un tablero de $m$ filas y $n$ columnas (la cantidad de números puestos en el tablero puede ser menor si algún $a_r$ o $b_t$ es cero).<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br />En efecto, en nuestro tablero vacío escogeremos cualquier casilla de las $n \cdot m$ disponibles (esto es la cantidad de formas) digamos que es la que pertenece a la fila $i$ y a la columna $j$, ahora a toda casilla que esté en la columna $j$, excepto a la que escogemos le asignaremos el número $a_p$ si está en la fila número $p$, análogamente a toda casilla que está en la fila $i$ excepto a la de la columna $j$ le asignaremos el número $b_q$ si está en la columna $q$, es decir $p \neq i$ y $q \neq j$. Ahora sea $$S=a_i + b_j - \sum_{x=1}^{n} b_x =b_j+a_i- \sum_{y=1}^{m}a_y$$ el número de la casilla que habíamos escogido desde un principio.<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /> Ahora si tiene sentido decir que la cantidad de números puestos en el tablero puede ser menor si algún $a_r$ o $b_t$ es cero.<br /><br />$ $TEX: Como argumentas que $S$ es positivo? No parece verdad en general.$ Mensaje modificado por hermite el Jun 20 2020, 12:16 AM

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2020, 11:38 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	CITA(hermite @ Jun 20 2020, 01:16 AM) $TEX: Como argumentas que $S$ es positivo? No parece verdad en general.$ $TEX: <br />No es necesario que los $n+m-1$ números sean positivos, en el enunciado dice "numeros positivos en algunas casillas" y con eso estamos porque ya tenemos $n+m-2$ positivos. Ahora me di cuenta que no tiene sentido decir que $a_r$ o $b_t$ es cero, pues son positivos por enunciado.<br />$ Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 20 2020, 12:10 PM

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2020, 11:46 AM Publicado: #8
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	Mentira, creo que se me derrumbo todo el argumento xd tendre que pensarlo mas.

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2020, 03:05 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(Fran.tgx @ Jun 20 2020, 11:38 AM) $TEX: <br />No es necesario que los $n+m-1$ números sean positivos, en el enunciado dice "numeros positivos en algunas casillas" y con eso estamos porque ya tenemos $n+m-2$ positivos. Ahora me di cuenta que no tiene sentido decir que $a_r$ o $b_t$ es cero, pues son positivos por enunciado.<br />$ Cuando dice "Algunas casillas" se refiere a que algunas tienen números positivos y otras no tienen nada. Pero todas las casillas que tienen números son positivas. Si no el problema seria trivial.

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