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> CMAT 2011 - Fecha 4 - Nivel 2 individual
El Geek
mensaje Feb 1 2012, 03:01 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT
Fecha 4: 6 de Agosto de 2011
Segundo Nivel Individual


Problema 1
Considere el conjunto TEX: $\mathcal{A}$ de todos los números de la forma
TEX: \[2 + 9;{2^2} + 9;{2^{{2^2}}} + 9;...;{2^{{2^{{ {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu<br /> \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}} ^2}}}}} + 9;...\]

¿Cuántos números primos existen en el conjunto TEX: $\mathcal{A}$?

Problema 2
En la figura, TEX: $ABCD$, TEX: $JGCH$ y TEX: $AFIE$ son cuadrados con lado 5, 2 y 1, respectivamente
Archivo Adjunto  CMATp2geo.png ( 5.2k ) Número de descargas:  0
  1. Demuestre que TEX: $\overline{IJ}$ está contenido en una diagonal del cuadrado TEX: $ABCD$
  2. Encuentre el área del triángulo TEX: $IBJ$.


Mensaje modificado por El Geek el Feb 10 2012, 11:22 PM


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GaloFelipe
mensaje Feb 1 2012, 03:54 PM
Publicado: #2


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Solución P2 A

Tengo dudas si es la manera adecuada de abordarlo, pero creo que está bien


EDIT: Si es correcta, para responder la pregunta B, basta recordar cómo calcular el área de un triángulo conociendo sus coordenadas, usando una determinante.

Mensaje modificado por GaloFelipe el Feb 1 2012, 03:56 PM


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El Geek
mensaje Feb 1 2012, 03:57 PM
Publicado: #3


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Está bien la solución, aunque la gracia del problema es resolverlo mediante Geometría Clásica.

Saludos.

Mensaje modificado por El Geek el Feb 1 2012, 03:59 PM


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Gerardo Soto
mensaje Feb 2 2012, 01:16 AM
Publicado: #4


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p.1 )TEX: \begin{align*}<br />  & \text{notemos que toda potencia de la forma 2}^{4k}\text{ termina en 6}\text{, } \\ <br /> & \text{ la prueba de esto es simple puesto que 2}^{4k}\equiv 1\bmod 5=>2^{4k}\equiv 6\bmod 5\text{ y estamos}\text{,} \\ <br /> & \text{luego si sumamos 9 el digito de la unidad sera 5}\text{, por tanto dicho n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ mero sera divisible por 5}\text{,} \\ <br /> & \text{de aqui concluimos directamente pues cualquier potencia de 2 }\text{, de la forma 2}^{2^{2^{.^{.^{2}}}}}\ge \text{2}^{2^{2}},\text{ puede ser} \\ <br /> & \text{expresada de la forma 2}^{4k}\text{ con }k\in \mathbb{N}\text{, concluyendo asi que el conjunto }A\text{ } \\ <br /> & \text{tiene solo dos primos }\text{, los cuales son }11\text{ }y\text{ }13 \\ <br />\end{align*}


esto es nivel mayor, o menor?

Mensaje modificado por Gerardo Soto el Feb 2 2012, 01:22 AM


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>>He robado princesas a reyes agónicos. Incendié la ciudad de Trebon. He pasado la noche con Felurian y he despertado vivo y cuerdo.

Me expulsaron de la Universidad a una edad a la que a la mayoría todavía no los dejan entrar. He recorrido de noche caminos de los que otros no se atreven a hablar ni siquiera de día.

He hablado con Dioses, he amado a mujeres y he escrito canciones que hacen llorar a los bardos.<<

<<Me llamo Kvothe (<Cuouz>). Quizá hayas oído hablar de mí.”>>

El nombre del viento, primer dìa de la historia de Kvothe


.-“Todo hombre sabio le teme a tres cosas: Una noche sin luna, una tormenta en el mar y a la ira de un hombre bueno.””


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S. E. Puelma Moy...
mensaje Feb 2 2012, 07:06 AM
Publicado: #5


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En el CMAT, cada alumno compite según su curso en la enseñanza media. El primer nivel individual es la excepción, porque no son excluídos los alumnos de educación básica (es decir, los profesores pueden inscribir alumnos de 7° y 8°... de cursos menores, hasta aquí no he visto).

No sé si esto responde tu pregunta (en el CMAT la división no es "Nivel Menor - Nivel Mayor"). Si la pregunta es "¿Dónde aparecería esta pregunta, en una Olimpiada Nacional de Matemática?", mi respuesta es: "Yo la colocaría en en Nivel Menor, en una Prueba Nacional (es decir, no en la Final). Pero, en manos de los encargados de la Olimpiada Nacional, no lo sé".

Para explicar mejor la última frase: la pregunta más fácil de las usadas para la Olimpiada Nacional 2001 (considerando las Pruebas Nacional y Final de ambos niveles, es decir, de un universo entre 24 y 28 preguntas inclusive) apareció en la Final, Nivel Mayor.

Saludos


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Sebastián Elías Puelma Moya
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Gerardo Soto
mensaje Feb 2 2012, 07:34 AM
Publicado: #6


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Ah todo muy claro !, muchas gracias, todo se entendió perfecto.


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>>He robado princesas a reyes agónicos. Incendié la ciudad de Trebon. He pasado la noche con Felurian y he despertado vivo y cuerdo.

Me expulsaron de la Universidad a una edad a la que a la mayoría todavía no los dejan entrar. He recorrido de noche caminos de los que otros no se atreven a hablar ni siquiera de día.

He hablado con Dioses, he amado a mujeres y he escrito canciones que hacen llorar a los bardos.<<

<<Me llamo Kvothe (<Cuouz>). Quizá hayas oído hablar de mí.”>>

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alonc
mensaje Oct 25 2014, 10:51 AM
Publicado: #7


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Con el P2 (b) como que no necesitaba mucha imaginacion
lo podria calcular un niño que sabe que el area
de un triangulo es TEX: $\frac{Base*altura}{2}$
aun así dejo esta solución

salu victory.gif

Mensaje modificado por alonc el Oct 25 2014, 10:52 AM
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