CMAT 2011 - Fecha 4 - Nivel 1 individual

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CMAT 2011 - Fecha 4 - Nivel 1 individual

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El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 02:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 4: 6 de Agosto de 2011 Primer Nivel Individual Problema 1 Sea un $TEX: $\triangle{ABC}$$ , $TEX: $\angle{BAC}=\alpha$$ , $TEX: $\angle{ABC}=\beta$$ y $TEX: $\alpha > \beta$$ . $TEX: $\overline{CD}$$ es la altura desde el vértice $TEX: $C$$ y $TEX: $\overline{CE}$$ es bisectriz del ángulo $TEX: $C$,$ con $TEX: $D$$ y $TEX: $E$$ sobre el segmento $TEX: $\overline{AB}$$ . Demuestre que la medida del $TEX: $\angle{DEC}$$ es $TEX: $90°-\dfrac{\alpha - \beta}{2}$$ . Problema 2 ¿Cuántos números de 4 cifras hay que cumplen las siguientes condiciones? Todas sus cifras distintas de cero y no se repiten. Las decenas son 3 más que las unidades. La suma de las cuatro cifras es 20. Permutando las unidades con las unidades de mil resulta un número que tiene 999 unidades más que el primero. -------------------- Me voy, me jui.

orlandomancilla Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 04:27 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 178 Registrado: 19-August 08 Desde: Osorno Miembro Nº: 32.610 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1 Sea $TEX: $\angle DEC=x$$ el ángulo pedido y sea tambien $TEX: $\angle ACB=2\gamma$$ . tenemos que $TEX: $\alpha + \beta + 2\gamma=180$$ , de donde $TEX: $\gamma=90-\dfrac{\alpha + \beta}{2}$$ . luego, como $TEX: $\alpha>\beta$$ , tenemos que $TEX: $x$$ es exterior al triangulo $TEX: $BEC$$ y por tanto $TEX: $x=\beta + \gamma=\beta + 90-\dfrac{\alpha + \beta}{2}=90-\dfrac{\alpha - \beta}{2}$$ -------------------- no importa que tan dificil sea, si alguien lo hizo, tu tambien puedes Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 04:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(orlandomancilla @ Feb 1 2012, 05:27 PM) Problema 1 Sea $TEX: $\angle DEC=x$$ el ángulo pedido y sea tambien $TEX: $\angle ACB=2\gamma$$ . tenemos que $TEX: $\alpha + \beta + 2\gamma=180$$ , de donde $TEX: $\gamma=90-\dfrac{\alpha + \beta}{2}$$ . luego, como $TEX: $\alpha>\beta$$ , tenemos que $TEX: $x$$ es exterior al triangulo $TEX: $BEC$$ y por tanto $TEX: $x=\beta + \gamma=\beta + 90-\dfrac{\alpha + \beta}{2}=90-\dfrac{\alpha - \beta}{2}$$ Hola Orlando, no olvides adjuntar la imagen de la solución. Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 06:03 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2 $TEX: Sea un número de la forma $abcd$, y observando las condiciones pedidas obtenemos inmediatamente que $a,b,c,d\leq 9$, $a+b+c+d$ = $20$, que $a,b,c,d$ son distintos de 0 y no se repiten, y que $c=d+3$. Luego, para que la cuarta condición se cumpla, necesariamente $d=a+1$ ya que al permutarlas aumenta en 999 unidades, es decir las unidades de mil aumentan si y solo si en uno. Luego probamos los casos:$ $TEX: Si $a=1$, $d=2$, $c=5$ tenemos $1b52$ entonces $1+b+5+2=20\Rightarrow b=12$ contradicción.$ $TEX: Si $a=2$, $d=3$, $c=6$ tenemos $2b63$ entonces $2+b+6+3=20\Rightarrow b=9$ entonces 2963 es válido.$ $TEX: Si $a=3$, $d=4$, $c=7$ tenemos $3b74$ entonces $3+b+7+4=20\Rightarrow b=6$ entonces 3674 es válido.$ $TEX: Si $a=4$, $d=5$, $c=8$ tenemos $4b85$ entonces $4+b+8+5=20\Rightarrow b=3$ entonces 4385 es válido.$ $TEX: Si $a=5$, $d=6$, $c=9$ tenemos $5b96$ entonces $5+b+9+6=20\Rightarrow b=0$ contradicción.$ $TEX: Desde ahora no es necesario probar más casos ya que desde ahora en adelante $c>9$, por lo tanto el conjunto es $S=(2963,3674,4385)$.$ Mensaje modificado por MatíasMoreno el Feb 1 2012, 10:39 PM -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 06:13 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(MatíasMoreno @ Feb 1 2012, 07:03 PM) Problema 2 $TEX: $a\not = b\not = c\not = d\not = 0$$ Aunque se entiende a lo que te refieres, dejame aclararte que la relación $TEX: $\not =$$ no es de equivalencia por ende no es transitiva, por ejemplo, que A sea distinto a B y B distinto de C, no implica que A sea distinto de C, estos podrían ser iguales y la condición A distinto de B, y B distinto de C se sigue cumpliendo. Por lo tanto, hay que darse el trabajo de especificar, uno por uno, es distinto de cero. Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 10:40 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(El Geek @ Feb 1 2012, 03:13 PM) Aunque se entiende a lo que te refieres, dejame aclararte que la relación $TEX: $\not =$$ no es de equivalencia por ende no es transitiva, por ejemplo, que A sea distinto a B y B distinto de C, no implica que A sea distinto de C, estos podrían ser iguales y la condición A distinto de B, y B distinto de C se sigue cumpliendo. Por lo tanto, hay que darse el trabajo de especificar, uno por uno, es distinto de cero. Saludos. edited -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

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