CMAT 2011 - Fecha 3 - Nivel 2 individual

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CMAT 2011 - Fecha 3 - Nivel 2 individual

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El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 02:18 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 3: 18 de Junio de 2011 Segundo Nivel Individual Problema 1 Consideremos en el plano cartesiano un rectángulo de largo $TEX: \[n \ge 2\]$ y ancho $TEX: $m \ge 2$$ contenidos en los ejes cartesianos. Dividimos el rectángulo en $TEX: $n \cdot m$$ cuadrados de lado 1 y pintamos los cuadrados como tablero de ajedrez. CMATp1.png ( 1.49k ) Número de descargas: 4 Sea $TEX: $N(n,m)$$ la cantidad de cuadrados negros y $TEX: $B(n,m)$$ la cantidad de cuadrados blancos. Es claro que: $TEX: $N(n,m) + B(n,m) = n \cdot m$$ Considere $TEX: $F(n,m)$$ el valor absoluto de la diferencia entre la cantidad de cuadrados blancos y negros. Determine una expresión para $TEX: $N(2n,2)$$ , $TEX: $B(2n,2m)$$ y $TEX: $F(2n,2m)$$ para $TEX: $n,m \ge 2$$ Determine una expresión para $TEX: $N(2n,2m+1)$$ , $TEX: $B(2n,2m+1)$$ y $TEX: $F(2n,2m+1)$$ para $TEX: $n,m \ge 2$$ Determine una expresión para $TEX: $N(2n+1,2m+1)$$ , $TEX: $B(2n+1,2m+1)$$ y $TEX: $F(2n+1,2m+1)$$ para $TEX: $n,m \ge 2$$ Problema 2 Sea $TEX: $abc$$ un número de 3 cifras cualqueira. Existen 6 combinaciones posibles de números de 3 cifras ocupando los mismos dígitos ( $TEX: $abc$$ , $TEX: $acb$$ , $TEX: $bac$$ , $TEX: $bca$$ , $TEX: $cab$$ , y $TEX: $cba$$ ). Sea $TEX: $n$$ la suma de los 3 dígitos que forman el número $TEX: $abc$$ Demuestre que la suma de los 6 números formados por estos dígitos es divisible por $TEX: $n$$ ¿Cuál es el resultado de esta división? -------------------- Me voy, me jui.

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 11:40 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2 $TEX: Consideramos el número $abc$ en notación decimal, este número expresado algebraicamente tenemos $a+b+c=n$, luego de la misma manera con las 6 combinaciones obtenemos:$ $TEX: $C_1=100a+10b+c$$ $TEX: $C_2=100a+10c+b$$ $TEX: $C_3=100b+10a+c$$ $TEX: $C_4=100b+10c+a$$ $TEX: $C_5=100c+10a+b$$ $TEX: $C_6=100c+10b+a$$ $TEX: Luego la suma obtenida es $C_s=222a+222b+222c$ de donde es directo que $C_s=222(a+b+c)=222n$ por lo tanto el resultado de la división es 222.$ -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

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